sábado, 23 de abril de 2011

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. (III)

EJEMPLO. El dueño de una distribuidora de automóviles realizó un estudio, para determinar las relaciones en
un mes determinado, entre el número de automóviles vendidos en el mes por su distribuidora con el número
de comerciales de un minuto sobre su distribuidora televisado localmente en ese mes.
Durante el período de 6 meses anotó los resultados que se muestran en la siguiente tabla .
a).- Utilice el método de regresión lineal simple para encontrar una ecuación que permita predecir las ventas
de autos en función de los gastos de publicidad por el número de comerciales de un minuto transmitidos por
televisión.
b).- ¿Cuál deberá ser el pronóstico de ventas de autos si se pusieran por televisión 4 comerciales?
SOLUCIÓN.
Primeramente hay que determinar la siguiente tabla de valores:



sustituyendo los valores de A = 6.24 y de B = 2.05 en la expresión:
Y ´ = A + B X
Tendremos la ecuación de la línea de regresión lineal Y ´ = 6.24 + 2.05 X
La cuál nos permitirá pronosticar las ventas de automóviles en función del número de anuncios comerciales
de un minutos transmitidos por la TV.
b),. Sustituyendo en la ecuación obtenida en el inciso anterior el valor de x = 4, obtendremos el pronóstico
de autos si se pusieran 4 anuncios comerciales en la TV.
Y ´ = 6.24 + 2.05 ( 4 ) = 14.44 automóviles

viernes, 22 de abril de 2011

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. (II)

A esta expresión se le conoce como la ecuación de la línea de regresión .
Donde A y B son coeficientes de regresión.
A = a la altura de la recta, a este número se le llama ordenada al origen o intercepción.
B = pendiente o inclinación de la recta de regresión
X = es la variable independiente, que representa el valor o período para el cual se prepara el pronóstico de Y ´
Y = Valores reales recopilados.
Hacer una regresión lineal es encontrar los valores de A y B adecuados. Estos valores se encuentran por el
criterio que se llama de los mínimos cuadrados. Este criterio da como resultado una línea recta que minimiza
el cuadrado de las distancias verticales de cada observación a la línea.
Representa un método para pronosticar demandas futuras a mediano y largo plazo , en donde la demanda
presenta tendencia constante, ascendente o descendente con variaciones irregulares.
Para el calculo de los valores de A y de B se usan las siguientes expresiones:
N = número de períodos o datos recopilados.

jueves, 21 de abril de 2011

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. (I)

La regresión linial simple comprende el intento de desarrollar una línea recta o ecuación matemática que
describe la relación entre dos variables
En este modelo la variable a predecir Y ´ está en función de una sola variable independiente X que no es
de tiempo y la ecuación matemática que se usará será la siguiente:

Y ´ = A + B X
A esta expresión se le conoce como la ecuación de la línea de regresión .
Donde A y B son coeficientes de regresión.
A = a la altura de la recta, a este número se le llama ordenada al origen o intercepción.
B = pendiente o inclinación de la recta de regresión
X = es la variable independiente, que representa el valor o período para el cual se prepara el pronóstico de Y ´
Y = Valores reales recopilados.

miércoles, 20 de abril de 2011

MÉTODOS CAUSALES DE PRONÓSTICOS

Estos desarrollan un modelo de causa y efecto entre la demanda ( exteriorización de las necesidades y deseos del mercado y esta condicionada por los recursos disponibles ) y otras variables. Que permitan explicar mediante una ecuación matemática los valores de una variable en términos de la otra. Por ejemplo, la demanda de helados puede relacionarse con la población, un agricultor puede creer que la cantidad de
fertilizante que utilizó influyó en la cosecha lograda, etc.
Uno de los métodos causales mejor conocido es el del Análisis de Regresión , en donde siempre se trata
del uso de dos variables numéricas.
A la variable que queremos explicar le llamamos dependiente ( Y ) .
A la variable que usamos para condicionar o para explicar la llamamos independiente ( X1 .X2 , X3 , ... X n)
Para ello es necesario encontrar una fórmula matemática que relacione la variable dependiente con la o las
variables independientes y que permita estimar o predecir los valores futuros que puede tener una variable ( dependiente ) cuando se conocen o suponen los valores de la otra u otras variables independientes
Este técnica se aplicará cuando la variable a pronosticar Y no está en función del tiempo.
Consideraremos el caso en que la curva de regresión de Y sobre X sea lineal.

martes, 19 de abril de 2011

Indices estacionales I (V)

Tendremos la expresión lineal de tendencia para la venta del libro de texto de este problema.
Y´ = 1864.27 + 22.62 x
La pendiente de 22.62 indica que, en los últimos 12 trimestres la empresa ha tenido un crecimiento
promedio desestacionalizado en las ventas del libro de texto de aproximadamente 22.62 libros por trimestre.
Si se considera que la tendencia de los datos de ventas en los últimos 12 trimestres es un indicador
razonablemente bueno del futuro, entonces, puede utilizarse la ecuación anterior para proyectar la
componente de tendencia de la serie de tiempo para trimestres futuros.
Entonces para calcular los pronósticos de las ventas de l libro de texto para los trimestres futuros,
considerando tanto el efecto de tendencia como el efecto estacional la ecuación que debemos de tomar en
consideración es:
Y ´´ = ( 1864.27 + 22.62 x ) ( Indice estacional )
Para calcular el pronóstico de ventas para el tercer trimestre del año 2001 debemos de sustituir en la
ecuación anterior :
Período x = 15 y el índice estacional para el tercer trimestre es = 1.40
De tal manera que tendremos lo siguiente:
Y ´´ = [ 1864.27 + ( 22.62 ) ( 15 ) ] ( 1.40 ) = ( 1864.27 + 339.30 ) ( 1.40 ) = 3085 libros de texto

lunes, 18 de abril de 2011

Indices estacionales I (IV)

La anterior información representa las ventas sin el componente estacional, quedándose solamente con la
componente de tendencia.
El siguiente paso es determinar la expresión matemática de la expresión lineal de tendencia, para ello se
emplea el procedimiento anterior, es decir, debemos encontrar con los datos desestacionalizados una
ecuación que tiene la forma Y ´ = a + b x .
Con la información de este cuadro se calcularán los valores de a y de b usando las siguientes expresiones:
N = 12 , porque son 12 trimestres o 12 datos recopilados

Sustituyendo los valores calculados de a y de b en la expresión: Y´ = a + b x

domingo, 17 de abril de 2011

Indices estacionales I (III)

Ahora se divide cada dato entre el promedio del año que le corresponda.

Estos números indican el porcentaje de cada uno de los trimestres en función del trimestre típico de cada uno
de los años. Estos números contienen la estacionalidad. Para terminar de tener los índices estaciónales,
mismos que representan el efecto estacional de la serie de tiempo para cada uno de los trimestres
promediamos los números de cada trimestre (columna).

El propósito de calcular indices estacionales es eliminar los efectos estacionales de la serie de tiempo. A este
proceso se le llama desestacionalizar la serie de tiempo
Para desetacionalizar la serie de tiempo, se dividen las ventas de cada uno de los trimestres entre su indice
estacional respectivo.



sábado, 16 de abril de 2011

Indices estacionales I (II)

solución:


Para calcular índices estacionales se pueden seguir muchos caminos, éste es quizá, el más simple.
Partiendo de los totales de cada año, calculo un promedio trimestral para cada año.


Estos promedios son un trimestre ``típico'' para cada año. Fíjese que año con año, las ventas en los segundos trimestre de cada año están en su punto mas bajo, seguidas de niveles mas altos de ventas en los terceros trimestres de cada año esto es ocasionado por el efecto estacional, además podemos notar que los trimestres típicos van subiendo de valor. Esto es debido al efecto de la tendencia que tiene la serie.

viernes, 15 de abril de 2011

Indices estacionales I (I)

La manera matemática de representar la estacionalidad es a través de los llamados índices estacionales.
Para comprender qué son, cómo se calculan y para qué sirven, veamos un ejemplo.
EJEMPLO:- Los datos trimestrales de ventas ( número de ejemplares que se venden ) de un libro de texto universitario en los últimos 3 años son los siguientes:


a.- Calcule los índices estacionales para los 4 trimestres
b. - Determine la ecuación de la expresión de la componente lineal de tendencia.
c.- Calcule las ventas pronosticadas de libros de texto para el tercer trimestre del año 2001

jueves, 14 de abril de 2011

ESTACIONALIDAD

La estacionalidad es un patrón que a veces observamos en una serie de tiempo. Consiste en subidas y bajadas periódicas que se presentan en forma regular en la serie de tiempo.
Al tiempo entre un ``pico'' y otro en la gráfica de la serie, se le llama período estacional. La mayoría de las series que presentan esta característica tienen periodicidad anual; en este caso, si la serie consiste de observaciones mensuales, el período será 12, en cambio, si la serie es trimestral, el período será 4.

miércoles, 13 de abril de 2011

Proyección de tendencia de una serie de tiempo que presenta componente de tendencia y componente estacional

En el tema anterior se mostró la forma que se pueden hacer pronósticos para una serie de datos que tenían
un componente de tendencia. A continuación se analizará una serie de datos que tiene tanto un componente de tendencia como una estacional.
El método que se considera consiste primero en eliminar el efecto estacional o el componente estacional de la serie de tiempo, para ello se calculan los índices estacionales para cada semana, mes, bimestre, trimestre, etcétera, A este paso se le denomina desestacionalización de la serie de tiempo .
Después de tal acción, la serie de tiempo tendrá solamente un componente de tendencia . Luego entonces, podemos utilizar el método que se describió en el tema anterior para determinar la expresión de la componente lineal de tendencia de la serie de datos. Finalmente para el desarrollo del pronóstico consiste en incorporar el componente estacional utilizando un índice estacional para ajustar la proyección de tendencia .
La expresión matemática que se utiliza cuando la serie de tiempo presenta componente de tendencia y componente estacional es:

martes, 12 de abril de 2011

MÉTODOS PARA SERIES DE DATOS CON TENDENCIA.: Análisis o proyección de tendencia. (II)

EJEMPLO. La siguiente tabla representa los datos de la serie de tiempo para las ventas de automóviles de la
agencia ford de Navojoa, sonora determinado en los últimos 10 años (1991- 2000). Determine:
a).- La expresión matemática para la componente lineal de tendencia para la venta de automóviles
b).- el pronóstico de ventas de automóviles para el año 2001 y para el año 2005.

Solución.
a).- Vamos a proceder a calcular la expresión lineal de tendencia para ello debemos de calcular primero los
valores de a y de b con las siguientes expresiones : en este caso N = 10 porque son 10 datos reales
recopilados.

Sustituyendo los valores calculados de a y de b en la expresión: Y´ = a + b x
Tendremos la expresión lineal de tendencia para la venta de automóviles de este problema.
Y´ = 399.38 + 56.84 x
Con esta ecuación podemos calcular el pronóstico de automóviles para cualquier período o año, con solo
cambiar el valor de x en el año o período que se quiera.
b).- El pronóstico de ventas automóviles para el año 2001 se calcula sustituyendo el valor de x = 11 en la
expresión :
Y´ = 399.38 + 56.84 x = 399.38 + 56.84 ( 11 ) = 399.38 + 625.24 = 1024.62 automóviles
El pronóstico de ventas automóviles para el año 2005, se obtiene sustituyendo en la expresión anterior
X = 15
Y´ = 399.38 + 56.84 x = 399.38 + 56.84 ( 15 ) = 399.38 + 852.60 = 1251.98 automóviles
La pendiente b = 56.84 significa que en los últimos 10 años, la empresa ha experimentado un crecimiento
promedio en las ventas de alrededor de 56.84 unidades por año.

lunes, 11 de abril de 2011

MÉTODOS PARA SERIES DE DATOS CON TENDENCIA.: Análisis o proyección de tendencia. (I)

Análisis o proyección de tendencia. El objetivo del análisis de tendencias es ajustar una linea de tendencia
( curva ) a una ecuación matemática y después se proyecta al futuro por medio de esta ecuación.
Un enfoque matemático para el análisis de tendencia lineal. Identifica la ecuación de una linea recta llamada
componente lineal de tendencia de la forma Y´ = a + b x , en donde Y ´ es el valor pronosticado, a
es la ordenada en el origen ( intercepción de la recta con el eje vertical ) , b es la pendiente de la linea y x
es el período para el que se prepara el pronóstico.
Los valores de a y de b se calculan con el método de mínimos cuadrados. La aplicación de éste criterio
da como resultado una linea recta que minimiza el cuadrado de las distancias verticales de cada observación
a la linea.Los valores para a y b que minimizan la suma de los cuadrados de todas las distancias verticales
definen la ecuación que mejor se ajusta a los datos.
Los valores de a y b se calculan mediante las siguientes expresiones:

N representa el número de datos reales recopilados
Esta técnica es aplicable cuando los datos históricos del pasado presentan variaciones irregulares y tienen
una tendencia a crecer o a decrecer a través del tiempo.

domingo, 10 de abril de 2011

Alisamiento o suavizamiento exponencial (II)

EJEMPLO. Una cadena de tiendas de abarrotes experimentó las siguientes demandas semanales (en cajas)
para una marca de detergente para lavadoras automáticas.


a).- Utilizando una constante de alisamiento exponencial a = 0.2, determínense los pronósticos
correspondientes a cada una de las semanas l así como la de la décima primera semana, empleando la
técnica de suavizamiento exponencia también calcule el error del pronóstico para cada una de las semanas.
b).- Calcule el DAM y el ECM.
Solución.
a).- Para iniciar los cálculos del pronóstico empleando ésta técnica, para el período 1 la demanda
pronosticada será la demanda real de ese mismo período. Y se iniciarán los cálc ulos aplicando la expresión:
F t + 1 = a Y t + ( 1 - a ) F t
Asi para el calculo del pronóstico para la segunda semana ( período t = 2 ) , se hará de la siguiente manera:
Se toman los valores tanto de la demanda real (Y t = 22 ) como de la demanda pronosticada (F t = 22 )
correspondientes al periodo 1 y estos se sustituyen en la ecuación matemática anterior, de la siguiente
manera:
F 1 + 1 = 0.2 Y 1 + ( 1 - 0.2 ) F 1
F 2 = 0.2 ( 22 ) + ( 1 - 0.2 ) 22
F 2 = 4.4 + ( 0.80 ) 22 = 22 cajas
Para el calculo del pronóstico para la tercera semana ( período t = 3 )
Se toman los valores tanto de la demanda real (Y t = 18 ) como de la demanda pronosticada (F t = 22 )
correspondientes al periodo 2 y estos se sustituyen en la ecuación matemática anterior, de la siguiente
manera:

F 2 + 1 = 0.2 Y 2 + ( 1 - 0.2 ) F 2
F 3 = 0.2 ( 18 ) + ( 1 - 0.2 ) 22
F 2 = 3.6 + ( 0.80 ) 22 = 21..20 cajas
Y así, de esta manera se continúan los cálculos del pronósticos para las siguientes semanas hasta llegar a la
décima primera semana cuya demanda pronosticada fue de 20..26 cajas.
Los errores semanales del pronóstico se calculan restando, a la demanda real la demanda pronosticada de
cada semana.
b).- El DAM = 21.02/10 = 2.10  el ECM = 64.33/10= 6.43

sábado, 9 de abril de 2011

Alisamiento o suavizamiento exponencial (I)

El alisamiento exponencial es una técnica de pronóstico en la que se utiliza un promedio ponderado de una
serie de valores anteriores o pasados para pronosticar el valor de la serie de tiempo en el período siguiente.
Se usa para pronósticos a corto y mediano plazo, la expresión matemática aplicada para este modelo es la
siguiente:



Los valores de la constante de alisamiento o suavizamiento debe de andar entre 0 y 1 0 < a < 1 a mayor produce menor suavizado y a menor, mayor suavizado

viernes, 8 de abril de 2011

Promedio Móvil Ponderado

En el método anterior de los promedios móviles simples cada observación del cálculo del promedio móvil
recibe la misma ponderación o peso.
En la técnica de promedios móviles ponderados, implica la selección de pesos distintos para cada valor de
los datos para después calcular en calidad de pronóstico un promedio ponderado. En donde la observación
mas reciente es la que recibe mayor ponderación y el peso disminuye para los valores mas antiguos.. Por
ejemplo, utilizando la serie de tiempo de la información del cuadro anterior , se procede a ilustrar el cálculo de un promedio móvil ponderado de 3 términos, en donde la observación mas reciente recibe un peso de 3
tantos el que se asigna a la observación mas antigua, y la siguiente observación mas antigua recibe un peso
del doble que la mas antigua . El pronóstico para el promedio móvil ponderado para la cuarta semana se
calcularía de la siguiente manera:

Observese que, para el promedio móvil ponderado, la suma de los pesos es igual a 1.

jueves, 7 de abril de 2011

Promedio Móvil simple (III)

EJEMPLO. Con la información mostrada en la siguiente tabla, Elabore promedios moviles de 3 y de 5
términos para calcular el número de accidentes pronosticados para la decimatercera semana y explique
¿cuál de los dos promedios móviles, el de 3 o el de 5 términos, ofrece mejores pronósticos

Note que el promedio móvil va desechando los datos viejos conforme incorpora a los nuevos. Además
mantiene la misma ``importancia'' para la última observación a lo largo del tiempo.
Usando promedios moviles de 3 términos el número de accidentes pronosticados para la decimatercera
semana es de 251 .
Y de 220 accidentes si usamos promedios móviles de 5 términos.
para evaluar la precisión de estos pronóstico y poder decidir cual de los 2 resultados ofrece el mejor
pronóstico, haremos uso de la desviación absoluta media ( DAM ) como medida de error.

DAM ( 3 términos ) = 575.00 /9 = 342.40
DAM ( 5 términos ) = 342.40/7 = 48.91

Conviene usar promedios móviles de 5 términos, en virtud a que presenta menor DAM en los cálculos

miércoles, 6 de abril de 2011

Promedio Móvil simple (II)

Una consideración importante al utilizar cualquier método de pronóstico es la precisión del pronóstico. Es
evidente que lo que se desea es que los errores de lo s pronósticos sean reducidos. Unas de las herramientas
estadísticas mas usadas como medidas del error para evaluar la precisión de los métodos de pronósticos
son:
· La desviación absoluta de la media (DAM) .
· El error medio cuadrático (EMC).







EJEMPLO. Con la información mostrada en la siguiente tabla, Elabore promedios moviles de 3 y de 5
términos para calcular el número de accidentes pronosticados para la decimatercera semana y explique
¿cuál de los dos promedios móviles, el de 3 o el de 5 términos, ofrece mejores pronósticos

martes, 5 de abril de 2011

Promedio Móvil simple (I)

Este consiste en promediar sólo las últimas observaciones. Conforme avanza el tiempo dejamos fuera del
promedio a los datos más viejos y vamos incorporando datos nuevos. Por eso recibe el nombre de promedio
móvil.
Un promedio móvil tiene un parámetro que es la amplitud del promedio, es decir, cuántos datos ponemos en
el promedio.
Si el valor de este parámetro es grande, el suavizado es mayor; si es pequeño el suavizado es menor.
En términos matemáticos, el cálculo de los promedios móviles se realiza de la siguiente manera:
Se considera que:
X t = F t + 1
Donde:
X t = Es el promedio móvil de n términos de x calculados hasta el período t
F t + 1 = representa el pronóstico de x en el período t + 1
X i = valor real de x ( accidentes, ventas, demanda, etc. ) en el período i

n = número de periodos de demanda a ser incluidos ( orden del promedio movil )
? = Sumatoria
El promedio móvil hasta el período t se usa para el pronóstico del período t + 1
El error correspondiente a cualquier pronóstico está representado por la diferencia entre el valor real
observado y el valor pronosticado. Este puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el pronóstico es
demasiado bajo o es demasiado alto.

lunes, 4 de abril de 2011

Métodos de suavizamiento o alisamiento.-

Son técnicas de pronósticos que son apropiadas para series de tiempo mas o menos estables y que presentan un patrón horizontal, es decir, las que no muestran efectos importantes de tendencia , cíclicos o estaciónales.
Dentro de éstas técnicas de pronósticos tenemos los siguientes métodos .

domingo, 3 de abril de 2011

Datos estacionales.

Muchas series de datos presentan este tipo de comportamiento repetitivo. La componente estacional refleja cambios hacia arriba y hacia abajo en puntos fijos en el tiempo.

El origen del nombre estacional son, precisamente las estaciones del año. Mucha de la actividad humana y muchos fenómenos naturales varían de acuerdo a las estaciones. Por extensión, en muchas actividades se presenta una oscilación semanal o mensual similar a la de las estaciones del año. Por ejemplo, no es raro observar que en algunos días de la semana se incrementa el ausentismo laboral. Tenemos otro ejemplo en la cantidad de transacciones que se realizan en las oficinas bancarias, estas presentan dos ``picos'' mensuales, al principio/fin y al medio. Cuando se estudia una serie con esta carcterística, es deseable incorporarla al pronóstico. En general se considera que esta componente o patrón ocurre con un período de un año o menos.
Otro tipo de patrón, es el que se llama cíclico . Este se refiere a curvaturas de largo período asociadas con grandes ciclos económicos. El pronóstico en estas condiciones es mucho más complicado ya que la forma de estos ciclos no es simple y la teoría económica no se encuentra suficientemente desarrollada como para permitir una cuantificación confiable de ellos. Claro que si observamos tal patrón en los datos, es conveniente incorporarlo al pronóstico aún cuando sea de una manera imperfecta.
La diferencia principal entre los efectos o patrones estacionales y cí clicos es que los efectos estacionales pueden predecirse, y ocurren a un intervalo de tiempo fijo de la última ocurrencia, mientras que los efectos cíclicos son componentes impredecibles.

sábado, 2 de abril de 2011

Datos con tendencia

Se presentan como una línea lisa (una recta o una curva suave) que sube o baja monotonamente y los datos oscilan erráticamente alrededor de ella. La manera de pronosticar que se ocurre primero, en este caso, es la de calcular una ecuación para la línea y usar ese valor para pronóstico.

viernes, 1 de abril de 2011

Patrón horizontal o estacionario

Se presentan como un valor constante (recta horizontal) alrededor del cual los datos oscilan de forma irregular. Es el patrón de datos mas simple, la mejor manera de pronosticar en una situación como ésta es estimar la altura de la línea horizontal y usar ese valor como pronóstico.