lunes, 29 de septiembre de 2014

PERT- CPM - II

8. Programación es la fase equivalente, en el Análisis Cuantitativo, a la solución del modelo. En ella se calculan los tiempos de ocurrencia de los eventos, los tiempos más tempranos y más tardes de iniciación y finalización de las actividades. Se calculan las holguras de tiempo disponible y se aíslan las Actividades Críticas, con holgura cero, que conformarán el Camino Crítico de la Red. Todo ello se muestra en los Programas de Tiempos de Ocurrencia de Eventos y de Ejecución de Actividades. 
9. El Camino Crítico de una Red es un camino conformado por actividades en secuencia en la red. Dichas actividades tienen la mayor duración total de tiempos de ejecución. La importancia de una actividad crítica radica en el hecho de que su retraso en el tiempo programado para ejecutarla, retrasará todo el proyecto. 
10. La etapa de Control corresponde a la etapa de supervisión ejecutada en cualquier actividad administrativa. En PERT-CPM se realiza utilizando lo obtenido en etapas previas; es decir, el Diagrama de Flechas y el Programa de Tiempos de Ejecución de las Actividades. No puede planearse y programarse sin realizar la supervisión necesaria que garantice el cumplimiento de lo establecido. 
11. Un Diagrama de Flechas o Red del Proyecto o Modelo del Proyecto se elabora con los elementos siguientes: 
a) Arcos de flecha o segmentos continuos de línea ( ________ ), cada uno de los cuales representa a una única actividad del proyecto. 
b) Puntas de las flechas ( >) que representan la secuencia en que deben ser ejecutadas las actividades del proyecto. 
c) Nudos ( O ) circulares o nodos, que representan el momento o la fecha calendario en que han concluido las actividades que concurren a él, y pueden ser iniciadas las actividades siguientes en la secuencia establecida. Se les denomina “Eventos”. 
d) Actividades ficticias. Estas no consumen tiempo ni recursos; se representan con segmentos de línea entrecortada para diferenciarlas de las actividades reales ( --------- ) 
e) Numeración de eventos que debe ser progresiva y continua. Sobre la Red deben colocarse también los tiempos necesarios para ejecutar cada actividad. 
12. Las actividades ficticias se usan por las razones siguientes: 
a) Para evitar que dos o más actividades tengan el mismo Evento inicial y final y 
b) Para representar relaciones de precedencia que de otra manera no pueden ser representadas. Una red puede contener cualquier cantidad de actividades ficticias. Una red bien elaborada debe contener el mínimo necesario de este tipo de actividades. 
13. Las actividades del proyecto deben ejecutarse en un orden determinado y eso está representado en las relaciones de precedencia. Las precedencias son siempre precedencias directas. 
14. En PERT se asume que los tiempos de ejecución de las actividades son completamente independientes.

domingo, 28 de septiembre de 2014

PERT- CPM - I

Objetivo: Proponer fechas de iniciación y finalización para las actividades de un proyecto, de tal manera que éste se ejecute en el menor tiempo posible, mediante la aplicación de la teoría y práctica de la Técnica de PERT- CPM. 
  SECCION A. TÉCNICAS DE REDES. PERT-CPM 
A.1 Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de PERT-CPM 
  1. PERT y CPM son técnicas cuantitativas para manejar proyectos con el enfoque analítico de la investigación de operaciones. PERT corresponde a las siglas en inglés de: Técnicas de Revisión y Evaluación de Programas (Program Evaluation and Technique Review ) y CPM corresponde a siglas de: Método del Camino Crítico ( Crítical Path Method ). 
  2. PERT fue creado por una firma asesora de la marina norteamericana para el desarrollo del proyecto Polaris, no ejecutado con anterioridad. CPM fue desarrollado por los investigadores Du Pont y Sperry Rand para proyectos de construcción, que se han ejecutado siempre. De allí surgen diferencias iniciales que existieron en ambas técnicas. 
  3. PERT usa tiempos probabilísticos en proyectos que no se han ejecutado nunca o se han ejecutado pocas veces. CPM usa tiempos determinísticos o conocidos, debido a que proyectos similares se han ejecutado muchas veces. Pero ambas técnicas de manejo de proyectos tienen el mismo objetivo, que es ahorrar el mayor tiempo posible en la ejecución de un proyecto; es decir, son técnicas tiempo- orientadas. 
  4. Estas técnicas están incluidas dentro de las técnicas de Redes porque los modelos utilizados son REDES. Es decir, cada proyecto se representa con una red. 
  5. Ambas técnicas han sido usadas exitosamente en: a) Proyectos de construcción tales como edificios, autopistas, puentes, piscinas y casas, b) Instalación de nuevos sistemas en computadoras, c) Diseño y mercadeo de nuevos productos, d) Realización de fusiones en corporaciones, e) Construcción de barcos, f) Mudanzas de grandes empresas a otras localizaciones, g) Mantenimiento de grandes refinerías. 
  6. El manejo de un proyecto con PERT-CPM puede considerarse didácticamente dividido en tres fases: Planeamiento, Programación y Control. 
  7. Planeamiento es la fase en la cual se divide un proyecto en actividades; se establece el tiempo necesario para ejecutarlas, se determinan las relaciones de precedencia entre ellas y se concluye con la elaboración del modelo del proyecto llamado Diagrama de Flechas o Red del Proyecto. Por eso, la técnica está incluida dentro de las técnicas de redes.

viernes, 26 de septiembre de 2014

SECCION C. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales de Transporte - IV

Ejemplo 3. Problema en un Sistema de Subasta de Tierras. Este modelo fue formulado y construido en la sección III.A.2, ejemplo 3. Su solución se obtiene en la sección III. B.2, ejemplo3. El programa QSB no proporciona Análisis de Sensibilidad de la Solución para modelos de Transporte. El programa LINDO proporciona el siguiente Análisis de Sensibilidad de la Solución. Los resultados del análisis de sensibilidad de la solución se leen en: “RANGES in wich the BASIS is UNCHANGED”, es decir, RANGOS dentro de los cuales la solución Básica no cambia. Se obtienen los rangos de los coeficientes de la función Objetivo en “Objective coefficients ranges”. Presenta los incrementos y decrecimientos permitidos en “allowable Increase” y allowable decrease” para el coeficiente actual o “current coef”. También se obtienen los rangos del lado derecho de las restricciones en “Right hand side ranges” , presentando los incrementos y decrecimientos permitidos para el lado derecho que tienen actualmente las restricciones. En ambos casos debe sumar los incrementos y restar los decrecimientos permitidos, para obtener los límites superior e inferior de los rangos respectivos. Las variables duales se leen en la columna correspondiente a “Dual price”, mostrando el valor de la primera variable dual, en la fila dos. La primera fila corresponde a la función Objetivo. En la solución proporcionada por el programa QSB se leen en los resultados mostrados en la Tabla final en la fila con el nombre Vj conteniendo las variables duales correspondientes a las restricciones de demanda y en la columna Ui con contenido de las variables duales correspondientes a las restricciones de oferta
INFORME DE RESULTADOS 
En el informe del Análisis de Sensibilidad de la solución, se presentan solamente los resultados para las situaciones cuando: a) Cambia un coeficiente de la Función Objetivo; b) Cambia un lado derecho de una restricción de oferta; c) Cambia un lado derecho de una restricción de Demanda. El informe de resultados para las variables duales se presentará para la variable dual de una sola restricción de oferta y para una de demanda. El análisis de sensibilidad de la solución cuando cambian los demás coeficientes y los demás lados derechos de restricciones, así como la interpretación de las demás variables duales, es similar.

jueves, 25 de septiembre de 2014

SECCION C. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales de Transporte - III

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Publicidad Este modelo fue formulado y solucionado en la sección III.B.2, ejemplo 2 de la Práctica de Solución de Modelos de Transporte. El Análisis de Sensibilidad lo puede hacer directamente en la solución encontrada, sobre la hoja de cálculo del programa What´sBest. Efectúa cambios en algún elemento del modelo y lo resuelve de nuevo. Este proceso es sumamente rápido. Al hacerlo podrá observar los cambios efectuados a la solución básica previamente obtenida. Puede efectuar cambios en los costos unitarios de publicidad, en la cantidad de publicidad que se quiere disponible en los diferentes medios, o en la cantidad de publicidad que pueden elaborar las firmas. Al resolver nuevamente el modelo obtendrá los resultados rápidamente. En ellos podrá observar si la solución óptima o los costos óptimos han cambiado o no. Es decir, los efectos que ese cambio tiene sobre la solución básica encontrada.
En la hoja de calculo con la solución del modelo se observa el valor de la variable dual para la primera restricción de oferta tiene valor –10 e informa que por cada unidad de publicidad en que se incremente la cantidad, que se quiere tener disponible en Prensa, los costos totales de la publicidad disminuirán en 10. Esto es así siempre y cuando, esa unidad de publicidad extra esté realmente disponible. De igual modo se obtienen en la hoja de cálculo, los valores para todas las variables duales. Por ejemplo, la variable dual para la tercera restricción de demanda tiene valor 22 e informa que por cada unidad de publicidad en que se incremente la cantidad que puede elaborar la firma 3, los costos totales de la publicidad se incrementarán en 22, siempre y cuando esa unidad extra de publicidad sea realmente elaborada. Si desea verificar que las variables duales son efectivamente óptimas , puede construir la función Objetivo Dual del modelo y sustituir estos valores en ella. Si el valor de esa función es igual al valor de la función Objetivo original, se concluirá que son óptimas tanto la solución del modelo original como la del modelo dual.
El valor de la Función Objetivo original es de: 1065 Al ser iguales los valores de las dos funciones objetivo, original y dual, queda demostrado que ambas soluciones son óptimas para sus respectivos modelos.

miércoles, 24 de septiembre de 2014

SECCION C. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales de Transporte - II

C.2 Práctica de Análisis de Sensibilidad y Dualidad en Modelos Lineales de Transporte. 
Ejemplo 1. 
Problema en un Sistema de Transporte. A continuación, se analizan los resultados para el modelo formulado y solucionado en la sección III. B.2, ejemplo 1, correspondiente a un problema en un sistema de transporte. El programa de computadora utilizado es LINGO. Este programa presenta los resultados en forma similar a los que presenta el programa LINDO. Los programas QSB y WHAT´sBEST no presentan análisis de sensibilidad. En el Programa WHAT´SBEST se permite hacer cambios en el modelo sobre la hoja de cálculo y al resolver nuevamente proporciona los efectos obtenidos sobre la solución óptima. En los modelos utilizados en la enseñanza toma sólo segundos de tiempo el proceso de resolver nuevamente el modelo. El análisis de sensibilidad de la solución en los resultados obtenidos con LINGO, se lee en: “RANGES in wich the BASIS is UNCHANGED”, es decir, RANGOS dentro de los cuales la solución Básica no cambia. Se lee para los rangos de los coeficientes de la función Objetivo en “Objective coefficients ranges”, donde presenta los incrementos y decrecimientos permitidos en “allowable Increase” y allowable decrease” para el coeficiente actual o “current coef”. También se lee para los rangos del lado derecho de las restricciones en “Right hand side ranges”, presentando los incrementos y decrecimientos permitidos para el lado derecho que tienen actualmente las restricciones. Las variables Duales se leen en la columna correspondiente a “Dual price”, mostrando el valor de la primera variable dual, en la fila dos. La primera fila corresponde a la función Objetivo.
INFORME DE RESULTADOS En el informe, del análisis de sensibilidad de la solución, se presentarán solamente los resultados para las siguientes situaciones: 
a) cambia un coeficiente de la Función Objetivo; 
b) cambia un lado derecho de una restricción de oferta; 
c) cambia un lado derecho de una restricción de Demanda. Al igual que en el programa LINDO, los límites inferior y superior de los rangos de variación que se obtienen en este análisis, deben calcularse sumando y restando los incrementos y decrecimientos permitidos, respectivamente. El informe de resultados para las variables duales se presentará para la variable dual de una sola restricción. El análisis de sensibilidad de la solución cuando cambian los demás coeficientes y los demás lados derechos de restricciones, así como la interpretación de las demás variables duales, es similar.

martes, 23 de septiembre de 2014

SECCION C. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales de Transporte - I

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de análisis de sensibilidad en Programación Lineal de Transporte 
  1. El Análisis de sensibilidad de la solución, así como los conceptos de teoría de Dualidad estudiados en Programación Lineal General, también se aplican en los modelos Lineales de Transporte. Se repasaran sólo algunos puntos.
  2. Cuando cambia un número (insumo del modelo, tal como un coeficiente o parámetro) o un lado derecho de una restricción, el análisis de sensibilidad de la solución muestra un rango de valores dentro de los cuales ese número puede cambiar sin cambiar la solución básica obtenida. 
  3. Cuando ocurren cambios en el número de variables (aparece una nueva restricción o cambian todos los coeficientes en el objetivo), el análisis de sensibilidad indicará el efecto que esto ocasiona sobre la solución básica. 
  4. Debe recordar que el análisis se refiere a la sensibilidad de la solución básica óptima, no a la sensibilidad de un coeficiente o de una restricción. 
  5. La Dualidad en Programación Lineal tiene su esencia en el hecho de existir dos modelos lineales, cuando se ha planteado sólo uno para resolver un problema específico. 
  6. El modelo Lineal asociado al Modelo Lineal Original o Principal se denomina Modelo Dual. Cuando se soluciona uno de ellos se obtiene al mismo tiempo la solución para el otro. 
  7. La solución del Modelo Dual provee información para la decisión que se tomará con la solución del modelo original. 
  8. Cada variable Dual informa en cuánto variará la función objetivo del modelo original por cada unidad en que se incremente el lado derecho de la restricción, del modelo original, a la que se refiere esa variable dual. Esto permite determinar la conveniencia o no de incrementar un determinado lado derecho de una restricción. 
  9. Los incrementos permitidos, en el lado derecho de las restricciones, los informará el rango dado por el análisis de sensibilidad de la solución cuando estos elementos cambian. Más allá de esos montos, la solución básica cambiará. 
  10. Las variables duales son válidas sólo para la respectiva solución básica óptima. Si la solución básica óptima cambia, las variables duales cambian. Sólo en un mínimo número de casos permanecen con sus valores.

lunes, 22 de septiembre de 2014

Ejemplo 3. Problema en un sistema de subasta de tierras. - III

INFORME DE RESULTADOS.

Solución Óptima:

domingo, 21 de septiembre de 2014

Ejemplo 3. Problema en un sistema de subasta de tierras. - II

b) Solución del Modelo con el Programa QSB. Este programa fue creado para solucionar modelos lineales de transporte. Permite seleccionar el método para encontrar la solución inicial. En este caso particular, se seleccionó el método VAM. Los resultados obtenidos los muestra en un resumen (Summary of results). El nombre Terra le fue dado para efectos de guardarlo en el archivo. También puede mostrar los resultados en forma de Tabla de transporte. Ambos se presentan a continuación.
El programa QSB, ya instalado en la computadora, solicita la información para la introducción de datos a través de preguntas. Una vez completada la entrada del modelo, presenta opciones diversas incluyendo la de solucionar el modelo. La primera solución posible fue óptima. Por ello aparece señalando 0 iteraciones.
 Los resultados muestran los valores de las variables de decisión, el valor del objetivo y las variables duales. Los valores de las variables se observan en los espacios correspondientes a las celdas donde los orígenes: Lara, Cojedes y el origen ficticio “Dummy”, agregado por el programa, convergen con los destinos: C1,C2,C3. Estos son los nombres que se le han dado a los orígenes y destinos en el modelo a solucionar con este programa. 
Los datos de costos unitarios, cantidad total de tierras que se tiene disponible en los diferentes estados (oferta) y cantidad total de cantidad total de tierras que demanda cada consorcio, así como los costos unitarios se muestran en la tabla, conjuntamente con la solución.

sábado, 20 de septiembre de 2014

Ejemplo 3. Problema en un sistema de subasta de tierras. - I

Este problema es presentado en la sección A.1, ejemplo 3 de Formulación y Construcción de modelos de transporte. Es un problema de maximización y, como tal, ilustra casos de maximización con el uso de estos modelos. El modelo formulado se muestra al inicio del formato de resultados. La solución del modelo se presenta a continuación y es obtenida usando el programa LINDO, y el programa QSB. Esto permite ilustrar los mismos resultados en formatos diferentes. 
  a) Solución con el Programa LINDO.
El programa LINDO se usa para resolver modelos lineales generales. Puede solucionar también modelos de transporte. Se observa que el modelo planteado para su solución, es un Modelo de Transporte ya balanceado. En este problema la demanda supera a la oferta y se agrega un origen ficticio. Por lo tanto, debe incluir los orígenes o destinos ficticios donde sean necesarios. Resuelve el modelo en 10 iteraciones. Esto demuestra que realiza más trabajo que el algoritmo de transporte para obtener la solución. El algoritmo de transporte usado en QSB resuelve el modelo en la primera solución, usando el método VAM. Esta diferencia, cuando se trabaja en modelos pequeños, no es importante.

viernes, 19 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Publicidad. Part 3

También se muestran los costos subtotales de la publicidad, en las celdas D10, G10, J10 y M10, cuya suma determina el costo total de la publicidad. Si se desea calcular el valor de las variables duales, se colocan las fórmulas necesarias para obtenerlas y se leen los valores en el sitio seleccionado para ello. Pueden calcularse posteriormente seleccionando “advanced” y “dual” en el programa What´sBest. A continuación se presenta el modelo ya solucionado la en Hoja de Cálculo. Se ha permitido que el programa decida el algoritmo a utilizar.

INFORME de RESULTADOS. 

Solución.
Función Objetivo.- Los costos mínimos totales de esta publicidad tienen un monto de $1065 (multiplicado por cien). La cantidad de publicidad que se quiere tener disponible es igual a la cantidad que pueden elaborar las cuatro firmas existentes. Por lo tanto no existe holgura en las restricciones.

jueves, 18 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Publicidad. Part 2

Conceptualmente, la primera restricción de oferta, por ejemplo, puede leerla de la manera siguiente: Representa la suma de las unidades de publicidad a realizar en prensa elaboradas por la firma1 (X11), más las elaboradas por la firma2 (X12), más las elaboradas por la firma3 (X13), más las elaboradas por la firma4 (X14); esa suma debe ser menor o igual a la disponibilidad que quiere tener la empresa en el medio publicitario prensa, que es de 30 unidades de publicidad. 
La cuarta restricción de demanda puede leerla conceptualmente de la siguiente manera: Representa la suma de las unidades de publicidad elaboradas por la firma 4 para realizar en prensa (X41), en televisión (X42) y en radio (X43). Esa cantidad es mayor o igual a 20, que es la cantidad que demanda para elaborar la firma 4. En el modelo elaborado, la cantidad de unidades de publicidad que quiere tener disponibles la empresa y las que pueden elaborar las firmas no es igual. Por lo tanto, para la solución del modelo se debe incorporar un medio publicitario ficticio. La cantidad demandada por ese medio ficticio será de 10 unidades, es decir la cantidad en exceso de la demanda sobre la oferta. Debe recordarse que cada modelo debe ser para un período específico, en este caso de tres meses. Esto como se lo indica la teoría general de Programación Lineal de Transporte, aparte 6. 
a) Solución del Modelo con el programa What´sBest : El programa WHAT´s BEST elaborado por LINDO Systems para trabajar con el sistema operativo Windows, se usa para obtener la solución del modelo. Utiliza la hoja de cálculo que contiene los “solvers” o algoritmos de solución.. La forma en que fue elaborada la hoja de cálculo con la información del Modelo, antes de su solución, se muestra a continuación.
Al igual que en una tabla de transporte, los valores de las variables se leen en los espacios correspondientes a las celdas donde convergen los orígenes: Prensa, Televisión, Radio con los destinos F1, F2, F3, F4. 
El costo total (función objetivo), se muestra en la celda que se encuentra debajo de su nombre. Se muestran también todos los datos del modelo, incluidos costos unitarios, cantidad total de publicidad que se quiere disponible en los diferentes medios (oferta) y cantidad total de publicidad que puede elaborar cada firma (demanda).

miércoles, 17 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Publicidad. Part 1

Su empresa realiza la publicidad de sus productos con cuatro firmas que existen en el mercado: F1, F2, F3, y F4. Actualmente saca al mercado un nuevo producto y desea tener disponibles 30 unidades de publicidad en prensa, 15 en televisión, y 25 en radio, dentro de tres meses. Dado el tamaño de las firmas se espera que F1 pueda elaborar 15 unidades de publicidad en total, F2 puede elaborar 25 en total, F3 puede elaborar 10 en total y F4 puede elaborar 20 unidades de publicidad en total. Para determinar como realizar la publicidad al menor costo tiene las ofertas que presentaron esas firmas (en cientos de $ por unidad de publicidad) y que se presentan a continuación:
Formulación y Construcción del Modelo: Función Objetivo: Minimizar costos totales de la publicidad del producto que se realizará en tres medios publicitarios y será elaborada por 4 firmas existentes en el mercado. Variables de decisión: Xij
Donde, por ejemplo, 30X23 es el resultado de multiplicar el costo de cada unidad de publicidad en televisión (30), por la cantidad total (X21) elaborada por la firma que tiene ese costo, que es la firma 2. Representa el costo total de las unidades de publicidad para televisión elaboradas por la firma 2 Restricciones de Oferta: Tres restricciones de oferta correspondientes a las unidades de publicidad que quiere tener disponibles su empresa en los tres medios: 
Prensa, televisión y radio. Restricciones de Demanda: Cuatro restricciones de demanda correspondientes a las unidades de publicidad que puede elaborar cada una de las cuatro firmas y por lo tanto, demanda su elaboración. Restricción de No- negatividad de las variables. Puede observar, tal como lo explica la teoría de programación lineal de transporte (aparte 19), que los orígenes y destinos en este modelo pueden ser usados indistintamente. En este caso se utilizaron los medios como orígenes y las firmas como destinos.

martes, 16 de septiembre de 2014

Práctica de solución de Modelos Lineales de Transporte con el computador. Part 3

Los resultados analizados se leen en LINGO en la forma siguiente: Las variables de decisión en la columna VARIABLE con el nombre de las Xij. Los valores de las variables se obtienen al lado de esos nombres, en la columna VALUE. El valor de la Función Objetivo se lee en “Objective Value” La holgura de las restricciones se presenta en la columna SLACK or SURPLUS al lado de la fila correspondiente a cada restricción. Estos valores se inician en la fila 2, correspondiendo la fila 1 a la función objetivo. A partir de la fila 2 presenta primero la holgura de las restricciones de oferta y luego presenta la de las restricciones de demanda. La única holgura mayor que cero, con valor de 3000 se lee en la columna correspondiente a la restricción 1. Esta restricción corresponde a la primera restricción de oferta. Se lee en la fila 2. 
INFORME DE RESULTADOS: Solución Óptima. El transporte óptimo del producto, que resulta de la solución, es el siguiente:
Función Objetivo:
Este transporte minimizará los costos totales de transporte a un monto total de 169000 unidades monetarias.
Holguras.
Del país 1 se transportan 6000 unidades del producto. Siendo 9000 unidades el total de su oferta, se concluye que le quedan disponibles, sin transportar por no existir demanda, 3000 unidades del producto. Esta cantidad representa la diferencia existente entre la totalidad de la oferta y la demanda del producto. Esta cantidad representa la única holgura que tiene valor mayor que cero.

lunes, 15 de septiembre de 2014

Práctica de solución de Modelos Lineales de Transporte con el computador. Part 2

Construidas las restricciones e incorporada la función Objetivo, el modelo formulado es el siguiente:
Introducción del modelo para su solución con el programa LINGO.

a) Solución del modelo con LINGO

domingo, 14 de septiembre de 2014

Práctica de solución de Modelos Lineales de Transporte con el computador. Part 1

Se utilizarán programas de computadora en Análisis Cuantitativo para resolver los modelos de transporte. Los programas a usar son LINGO, WHAT´sBEST, LINDO y QSB. Todos los detalles acerca de los formatos de entrada y salida de datos son dados, en forma más detallada, en el manual de programas, anexo a este texto. Sin embargo, en el capítulo anterior se han señalado algunos aspectos en particular, que se repiten en programación Lineal de Transporte. 

Ejemplo 1. Problema en un Sistema de Transporte. 

Una empresa manufacturera elabora un producto en tres países diferentes P1, P2 y P3, que debe ser transportado a tres distribuidores situados en tres diferentes ciudades C1, C2 y C3 para su posterior venta. La cantidad de unidades de producto disponible en P1 es de 9.000, en P2 existen 4.000 y en P3, 8.000. Las unidades de producto requeridas en C1 es de 6.000, en C2: 5.000 y en C3: 7.000. Los costos unitarios de transporte, en unidades monetarias, desde cada país hasta cada una de los distribuidores de las tres ciudades se muestran en la siguiente matriz.

Formulación y Construcción del Modelo: 

Función Objetivo: Se define como Minimizar los costos totales de transporte del producto desde los cuatro países hasta los distribuidores de las tres ciudades.

sábado, 13 de septiembre de 2014

SECCION B. Solución de Modelos Lineales de Transporte. Uso de Programas de Computación - II

6. Cuando la Demanda excede a la Oferta se debe crear un origen ficticio para que provea la cantidad en exceso de la demanda. El costo de transporte unitario en ese origen será de valor cero, ya que realmente no se transportará ninguna cantidad del bien o servicio desde ese origen, no existente en la realidad. Cualquier cantidad que quede en ese origen informará la cantidad del bien o servicio que no se ha transportado al destino respectivo, es decir, la demanda que ha quedado insatisfecha en el destino respectivo.
7. En algunos casos, el origen o destino ficticio podrá contener costos unitarios mayores que cero. Por ejemplo, cuando se tengan costos unitarios de mantener en inventario cada unidad no transportada, desde ese origen ficticio, y se desee minimizar, junto a los costos de transporte, el costo de mantener en inventario esas unidades no transportadas. Otro ejemplo se tendría cuando el demandante recarga un costo por cada unidad demandada y no transportada, y se desea minimizar, junto a los costos de transporte, el costo de la demanda insatisfecha. 
8. Las TABLAS de Transporte son un resumen detallado de la información del modelo. Las restricciones de oferta se leen horizontalmente y las restricciones de demanda verticalmente. 
9. Para calcular la solución inicial posible (que satisface todas las restricciones), el algoritmo tiene varios métodos, entre los cuales pueden citarse: a) Método de la Esquina Noroeste, b) Método del Costo Unitario Mínimo, y c) Método de Aproximación de Vogel o método VAM ( Vogel´s Aproximation Method). Cada uno de ellos con aspectos particulares que los hacen menos o más eficientes en el propósito de obtener una solución inicial posible..
10. Para determinar si la solución es o no óptima utiliza también varios métodos como: a) Método Sttepping Stone (no se acostumbra a usar la traducción al español) y b) Método de los Multiplicadores, basado en teoría de Dualidad, donde los multiplicadores en la tabla óptima corresponden a las variables duales.
12. Además de la Programación Lineal de Transporte se cuentan otras variaciones en Programación Lineal tales como son la Programación Lineal de Transbordo, Programación Lineal de Asignación, Programación Lineal Entera y Programación Lineal por Objetivos, cada una de las cuales utiliza un algoritmo propio para su solución. 
13. Todos los algoritmos de solución se encuentran bien detallados en la bibliografía de Investigación de Operaciones y Técnicas o Métodos Cuantitativos en la administración.

viernes, 12 de septiembre de 2014

SECCION B. Solución de Modelos Lineales de Transporte. Uso de Programas de Computación - I

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de la solución de modelos de Programación Lineal de Transporte 

1. El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebraico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamaño. Por lo tanto, siendo lineales, los modelos de transporte pueden ser solucionados con este Algoritmo. Sin embargo, resulta ineficiente para su solución, sólo necesita observar la cantidad de 1 y 0 que tiene en la matriz de restricciones. Por ello, se creó el Algoritmo de Transporte para solucionarlos. 
2. El Algoritmo de Transporte funciona, en forma general, igual al Algoritmo Simplex. Calcula una solución posible inicial, y determina sí esa solución es óptima. Si no lo es, se mueve a un punto extremo adyacente en el conjunto convexo de soluciones posible y calcula la nueva solución en ese punto. Determina nuevamente si es o no óptima, si no lo es, repite el proceso anterior y así continúa sucesivamente hasta encontrar un punto extremo cuyo valor objetivo no pueda ser mejorado y allí concluye con la solución óptima. 
3. La diferencia entre los algoritmos Simplex y de Transporte, radica en los cálculos matemáticos que realizan para encontrar la solución inicial y para determinar si la solución es o no óptima. Tiene mayor rapidez que el Simplex, requiere menos memoria en la computadora, por lo que permite resolver modelos más grandes, y produce soluciones enteras. 
4. Para usar el Algoritmo de Transporte es necesario que las cantidades ofrecidas del bien o servicio sean iguales a las cantidades demandadas. Como esto no ocurre siempre en la práctica, se hace necesario BALANCEAR el modelo, es decir igualar las cantidades ofrecidas con las demandadas 
5. Cuando la Oferta excede a la Demanda se debe crear un destino ficticio para que absorba la cantidad en exceso de la oferta. El costo de transporte unitario en ese destino será de valor cero puesto que realmente no se transportará ninguna cantidad del bien o servicio. Cualquier cantidad que quede en ese destino informará la cantidad del bien o servicio que ha quedado disponible, sin transportar, en el origen respectivo.

jueves, 11 de septiembre de 2014

Ejemplo 3. Problema en un Sistema de Subasta de Tierras II

Restricciones de no-negatividad de las variables: Las variables están restringidas a ser no-negativas. No se pueden adjudicar cantidades negativas, no existentes, de tierra. Por eso, esta restricción acerca el modelo a la realidad. 
Función Objetivo: Maximizar los Ingresos totales que obtiene el gobierno por las tierras.

Max 10 X11 + 9 X12 + 11 X13 + 20 X21 + 22 X22 + 19 X23
Se ha simplificado, cambiando a Bs. 100.000, el monto a pagar por hectárea. Esto permite trabajar con montos menores.
Representa la suma de los ingresos totales del gobierno de todas las hectáreas de tierra subastadas en todos los Estados adjudicadas a todos los consorcios.
Así por ejemplo, 20 X21 representa los ingresos totales de las tierras subastadas del Estado Cojedes adjudicadas al consorcio 1. Donde 20 es un ingreso unitario, específicamente el ingreso que proporciona cada hectárea de tierra del Estado Cojedes adjudicada al consorcio 1.
Notas Finales: Con este ejemplo puede constatar que los modelos de transporte también pueden ser usados con objetivos de maximización. Resumiendo el modelo y colocando las variables en la posición de las variables similares, se puede observar más claramente la característica esencial que hace especial, al Modelo Lineal de Transporte: “Los coeficientes de las variables, en las restricciones, son 1 o cero”.

miércoles, 10 de septiembre de 2014

Ejemplo 3. Problema en un Sistema de Subasta de Tierras I

El Ministerio de Agricultura está subastando tierras en dos estados del país Lara y Cojedes. Están disponibles 100.000 hectáreas en cada Estado. Tres consorcios agrícolas 1,2 y 3, participan en la subasta. El Gobierno ha establecido que ninguno de los tres consorcios recibirá más del 40% del total de tierras que se están subastando. El consorcio 1 ha ofrecido Bolívares 1.000.000 por cada hectárea en el estado Lara y Bs. 2.000.000 por hectárea en el estado Cojedes. El consorcio 2 ha ofrecido Bs. 900.000 por hectárea en el estado Lara y Bs. 2.200.000 en Cojedes. El consorcio 3 ha ofrecido Bs. 1.100.000 por hectárea en Lara y 1.900.000 en Cojedes. El gobierno desea maximizar sus ingresos.
Variables de Decisión: Xij: Hectáreas de tierra a subastar del estado i que se adjudicarán al consorcio j

i = Lara(1), Cojedes(2) j = 1,2,3.
Las variables son 6 en total (mxn) (2x3). Puede específicamente definirse, por ejemplo a:
X13: Hectáreas de tierra a subastar del estado Lara que se adjudicarán al consorcio 3.

Restricciones de Oferta: (2 restricciones) Disponibilidades limitadas de tierras en los 2 estados:
X11 + X12 + X13 £ 100.000 hectáreas disponibles en Lara
X21 + X22 + X33 £ 100.000 hectáreas disponibles en Cojedes
Definición conceptual de una específica restricción de Oferta. La primera, por ejemplo:
Representa la suma de hectáreas a subastar del estado Lara que se adjudicarán al consorcio 1 (X11), más las que se adjudicarán al consorcio 2 (X12), más las que se adjudicarán al consorcio 3 (X13) .
Esta suma debe ser menor o igual a la cantidad de hectáreas disponibles en el estado Lara que en este caso es de 100.0000.
Restricciones de Demanda: Requerimientos de hectáreas de tierra por los tres consorcios.
Definición conceptual de una específica restricción de demanda. La primera, por ejemplo: Representa la suma de hectáreas de tierra del Estado Lara adjudicadas en la subasta al consorcio 1 (X11), más las hectáreas del Estado Cojedes adjudicadas al consorcio 1(X12). Esta suma debe ser igual a la cantidad de hectáreas que demanda el consorcio 1. En este caso son 80.000 hectáreas por lo siguiente: en cada Estado no puede ser adjudicado más del 40% del total, esto hace un monto de 40.000 en cada estado y 80.000 en total en los dos Estados.

martes, 9 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Alquiler de Vehículos. - III

Por ejemplo, 20 XC2D4 representa los kilómetros totales recorridos por todos los carros que van desde la ciudad C2 hasta la ciudad D4, estos son los subíndices. Donde 20 es la cantidad de kilómetros que recorre cada carro, desde la ciudad C2 hasta la ciudad D4. Resumen del Modelo:
Nota: Puede observar la característica esencial del Modelo de Transporte: “Coeficientes de las variables, en las restricciones, son 1 o cero”. Si desea simplificar los subíndices, puede utilizar sólo números, por ejemplo X14 en lugar deXC1D4.

lunes, 8 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Alquiler de Vehículos. - II

Restricciones de Oferta: Disponibilidades limitadas de carros en las 3 ciudades:
Definición conceptual de una específica restricción de Oferta: La segunda, por ejemplo: representa la suma de los carros que deben recorrer desde la ciudad C2 hasta las ciudades D1, D2 y D 4. Esta suma debe ser menor o igual a la cantidad de carros que están disponibles en la ciudad C2. En este caso 20 carros. Restricciones de Demanda: Requerimientos de carros en las 4 ciudades:
Definición conceptual de una específica restricción de demanda. La cuarta, por ejemplo: Representa la suma de carros que han recorrido, o que deben recorrer hasta la ciudad D4 desde las ciudades C1, C2, C3, para satisfacer la demanda de esa ciudad. Esta suma debe ser mayor o igual a 16, que es la cantidad de carros demandados en la ciudad D4 
  Restricciones de no-negatividad de las variables: Las variables están restringidas a ser no-negativas. Cantidades negativas, no existentes de carros, no pueden recorrer distancia alguna. Por eso, esta restricción acerca el modelo a la realidad. 
Función Objetivo: Minimizar los KILOMETROS totales recorridos por los carros desde las 3 ciudades C1, C2 y C3 hasta 4 cuatro ciudades demandantes
Representa la suma de los kilómetros totales recorridos por los carros desde todas las ciudades que tienen exceso de carros (C1, C2, C3) hasta todas las ciudades que tienen carencia de carros: (D1, D2,D3 y D4).

domingo, 7 de septiembre de 2014

Ejemplo 2. Problema en un Sistema de Alquiler de Vehículos. - I

“Al igual que se usa en sistemas de transporte, el Modelo de Transporte puede ser utilizado en otros sistemas y con otros objetivos.” 
Una empresa de alquiler de carros sirve a siete ciudades y presenta actualmente un exceso de carros en tres ciudades ( C1, C2, C3) y una carencia de ellos en cuatro de las ciudades (D1,D2,D3 y D4). 
El exceso de carros: es de 20 en C1, 20 en C2 y 32 en C3. La escasez de carros es de 16 en D1, 20 en D2, 20 en D3 y 16 en D4. La tabla o matriz de distancias en kilómetros, entre las ciudades se le presenta al finalizar el enunciado. 
Los valores de M representan distancias muy largas. Esto indica que no es posible transportar carros desde C1 hasta D4, ni desde C3 hasta D2 por alguna razón, por ejemplo, porque las vías están en reparación y no se permite el paso. (Si en la solución final aparece una cantidad de carros con ese costo será la confirmación de que no existe solución óptima posible para el modelo). Se desea determinar cómo distribuir los carros para satisfacer las restricciones y minimizar la distancia total recorrida.

Variables de Decisión:

Xij: carros que deben recorrer los kilómetros desde la ciudad i hasta la ciudad j
i = C1,C2,C3 j = D1,D2,D3,D4

XC1D3: carros que deben recorrer los kilómetros desde la ciudad C1 hasta la ciudad D3.

sábado, 6 de septiembre de 2014

PRÁCTICA de Formulación y Construcción de Modelos Lineales de Transporte.- III

Restricciones de no-negatividad de las variables: Las variables están restringidas a ser no-negativas. No se pueden transportar cantidades negativas, no existentes, de cerveza. Por eso, esta restricción acerca el modelo a la realidad. Función Objetivo: Se define como Minimizar los costos totales de transporte de los camiones de cerveza desde las 3 plantas hasta los cuatro almacenes..
Esta expresión matemática representa la suma de los costos totales de transporte desde todas las plantas hasta todos los almacenes. Así por ejemplo, 20 XC2 representa los costos totales de los camiones de cerveza transportados desde la planta de la ciudad C hasta el almacén de la ciudad 2. Donde 20 es el costo unitario de transporte; es decir, el costo de transporte de un camión de cerveza desde la planta de la ciudad C hasta el almacén de la ciudad 2; XC2 es la cantidad transportada. Resumiendo el modelo y colocando las variables en la posición de las variables similares, se puede observar más claramente la característica esencial que hace especial al Modelo Lineal de Transporte: “Los coeficientes de las variables en las restricciones son 1 o cero”. Analizando la variable XA3 se observa que tiene coeficiente 1 en la primera restricción, cero en la segunda; es decir, no existe en esa restricción. Tiene coeficiente cero en la tercera, cero en la cuarta, cero en la quinta, uno en la sexta y cero en la séptima. Igual característica se observa en las demás variables. El resumen del modelo formulado y construido es el siguiente:

viernes, 5 de septiembre de 2014

PRÁCTICA de Formulación y Construcción de Modelos Lineales de Transporte.- II

Restricciones de Oferta: Disponibilidades limitadas de cajas de cerveza en las plantas de las 3 ciudades:
La cantidad del lado derecho de la restricción es el resultado de transformar la cantidad de cajas de cerveza disponibles, en camiones. Esto es así porque la variable Xij se ha definido en “camiones” y no se puede sumar camiones y obtener un total de cajas de cerveza. Se debe ser coherente y lo que se suma debe ser lo que se obtiene, recuerde la Aditividad de los modelos lineales. 
Definición conceptual de una específica restricción de Oferta. La tercera, por ejemplo: Representa la suma de camiones de cerveza transportados desde la planta de la ciudad C hasta el almacén de la ciudad 1 (XC1), más los transportados desde esa misma planta hasta el almacén 2 (XC2), más los transportados hasta el almacén 3 (XC3), mas los transportados hasta el almacén 4 (XC4). Esta suma debe ser menor o igual a la cantidad de camiones disponibles en la planta de la ciudad C. En este caso 80, ya que dispone de 80.000 cajas de cerveza equivalente a 80 camiones.
Restricciones de Demanda: Requerimientos de cajas de cerveza en los almacenes de las 4 ciudades:
De nuevo la cantidad del lado derecho es el resultado de transformar la cantidad de cajas de cerveza disponibles, en camiones. Cada ecuación del modelo debe ser coherente. Lo que se suma son camiones y eso es lo que debe obtenerse.
Definición conceptual de una específica restricción de demanda: 
La primera, por ejemplo: Representa la suma de camiones de cerveza transportados hasta el almacén de la ciudad 1 desde las plantas de la ciudad A(XA1) más los transportados desde la planta de la ciudad B (XB1), más los transportados desde la planta de la ciudad C (XC1), para satisfacer la demanda de ese almacén de la ciudad 1. Esta suma debe ser mayor o igual a la cantidad de camiones demandados en el almacén de la ciudad 1. En este caso 40, ya que demanda 40.000 cajas de cerveza equivalente a 40 camiones.

jueves, 4 de septiembre de 2014

PRÁCTICA de Formulación y Construcción de Modelos Lineales de Transporte.- I

NOTA: Debe recordarse que las cifras, las unidades monetarias y cualquier otro dato utilizado en los ejemplos, son convencionales. Pueden o no coincidir con datos reales. 
Ejemplo 1. Problema en un Sistema de Transporte. 
La empresa Gal elabora cerveza, como uno de sus productos, en tres plantas localizadas en tres ciudades del país, A, B y C. Este producto se transporta a cuatro almacenes localizados en cuatro ciudades del país, 1, 2, 3 y 4 para su posterior distribución. Los costos de transporte (en miles de bolívares) por camión de cerveza, se indican en la matriz de costos que se le presenta. Cada camión puede transportar 1000 cajas de cerveza. La cantidad de cajas de cerveza, disponible en las plantas, para transportar es la siguiente: A: 90.000; B: 40.000; C: 80.000. Las cajas de cerveza que requiere cada almacén son las siguientes: 1: 40.000; 2: 60.000; 3: 50.000; 4: 60.000.
Las variables son 12 en total: (mxn) (3x4). Pueden ser definidas una por una, pero es suficiente hacerlo con una cualquiera de ellas para expresar lo que representan. Por ejemplo: XA3: camiones de cerveza a transportar desde la planta en la Ciudad A hasta el almacén de la Ciudad 3. 

Nota: Para ayudarse en la definición conceptual de las variables imagine que el valor de ella ya lo ha encontrado y es un número cualquiera. Por ejemplo 8. Coloque ese 8 antes de la definición dada a la variable y compruebe que puede leerlo con coherencia. Así, en este caso, Usted puede leer: 8 camiones de cerveza a transportar desde la planta de la ciudad A hasta el almacén de la ciudad 3.

miércoles, 3 de septiembre de 2014

PROGRAMACIÓN LINEAL DE TRANSPORTE - III

16. bj, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción j de demanda. El subíndice j indica el destino hasta el cual va a ser transportado el bien, donde j = 1.........n Representan la cantidad del bien que es demandado, para transportarse, en el destino j.
18. Siendo m el número de restricciones de oferta y n el número de restricciones de demanda, en un Modelo de Transporte existirá siempre, m x n variables en total. 
19. Siendo m el número de restricciones de oferta y n el número de restricciones de demanda, en un Modelo de Transporte existirá siempre m+n -1 variables básicas y (mxn)- (m+n-1) nobásicas. 
20. En todo Modelo de Transporte elaborado a partir de un sistema que no sea de transporte, pueden intercambiarse los orígenes y destinos. Esto dependerá de la conveniencia para la interpretación de los resultados. 
21. Toda la información de un Modelo de Transporte puede ser resumida en las llamadas Tablas de Transporte, al igual que el modelo lineal general se resumía en tablas simplex. Estas tablas presentan la forma siguiente, en un modelo de tres orígenes y tres destinos.

martes, 2 de septiembre de 2014

PROGRAMACIÓN LINEAL DE TRANSPORTE - II

8. La Función Objetivo del Modelo Lineal de Transporte es la formulación matemática de una meta establecida. Es una función Lineal a ser maximizada o minimizada. En el modelo original de transporte representa los costos totales de transporte a ser minimizados. Los orígenes o sitios, desde donde se transporta el bien, están simbolizados en el subíndice i y los destinos, hasta los que se transporta el bien, con el subíndice j. Tiene la siguiente forma general: m n
9. Xij, matemáticamente, simboliza a las variables de decisión. Son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y están relacionadas con la actividad de transporte. En el Modelo de Transporte representan la cantidad del bien a transportar desde el origen i hasta el destino j. Los orígenes i pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta m orígenes; igualmente puede existir cualquier cantidad de destinos j, desde 1 hasta n. 
10. Cij, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable Xij. Son datos de insumo del modelo. En la función objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable Xij, al valor total deseado en el objetivo. Específicamente en transporte representa el costo de transporte de cada unidad, del bien a transportar, desde el origen i hasta el destino j. 
11. Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades que limitan el valor de las variables de decisión a valores permisibles. Representan, en el Modelo de Transporte, la cantidad del bien disponible en cada origen para ser transportada (restricciones de oferta) y las cantidades demandadas que deben ser transportadas a los destinos (restricciones de demanda). Las restricciones del Modelo Lineal de Transporte, incluida la de no- negatividad de las variables, tienen la forma general siguiente: