domingo, 31 de agosto de 2014

PROGRAMACIÓN LINEAL DE TRANSPORTE - I

Objetivo: Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar que optimicen sistemas de transporte y similares, donde existan relaciones lineales, mediante la teoría y práctica de la Técnica de Programación Lineal de Transporte. 

  SECCION A. Programación Lineal de Transporte, Formulación y Construcción de Modelos Lineales de Transporte 

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la Teoría de Programación Lineal de Transporte, Formulación y Construcción del Modelo 
1. Programación Lineal de Transporte es una técnica cuantitativa creada para minimizar los costos asociados a la distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes destinos. Las condiciones de linealidad están presentes, como en cualquier técnica de programación lineal. 
2. Debido al éxito alcanzado en los Sistemas de Transporte, esta técnica se utilizó posteriormente en otros sistemas. En ellos, el problema no implica transporte físico de bienes pero existen relaciones lineales, y el modelo formulado tiene las características de un Modelo de Transporte. 
3. El modelo usado en esta técnica es un modelo lineal, con características especiales, llamado Modelo Lineal de transporte. 
4. Las características que hacen del Modelo Lineal de Transporte un modelo de programación lineal especial son: a) Los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o cero. b) Las cantidades demandadas deben ser iguales a las cantidades ofrecidas para poder solucionar el modelo. 
5. El producto a transportar debe ser único y homogéneo. Si se ofrece cemento, por ejemplo, la demanda debe ser de cemento, es decir, un producto único. Si se ofrecen sacos de cemento la demanda debe ser de sacos de cemento y no a granel, es decir, es homogéneo. En caso de multiproductos, se puede hacer una multi-formulación. 
6. En la Formulación y Construcción del Modelo Lineal de Transporte deben considerarse aspectos ya estudiados en la formulación de modelos lineales generales tales como a) Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente b) Definir claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales. 
7. Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el mismo período de tiempo. Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto acerca el modelo a la realidad.

sábado, 30 de agosto de 2014

Problemas para resolver

1.- Formule y Construya el modelo necesario para el problema planteado. 
2.- Obtenga su solución con alguno de los programas de computadora disponibles. 
3.- Presente un informe con todos los resultados obtenidos. 
4.- ¿Resulta conveniente la Programación Lineal para un modelo de este tipo? Explique. 
La empresa constructora Siracid está considerando construir un desarrollo habitacional con la ayuda de fondos del gobierno. Estos fondos se entregaran sólo si Siracid cumple la condición establecida de que al menos 25% del total de unidades construidas sean unidades de bajo costo. Hay tres tipos de unidades: casas, town-houses y condominios. Dentro de ellos hay tres estilos: bajo costo, estándar y de lujo. Los condominios tendrán sólo modelos estándar y de lujo. Siracid tiene 100.000 metros cuadrados para la construcción. Se quiere que las casas ocupen entre 25% y 40 % del área total. Lo mismo para los town-houses. Para los condominios se necesita que ocupen de 10% a 25% del área total. A continuación se proporciona la cantidad de espacio total en metros cuadrados (incluyendo estacionamientos y áreas verdes) y los beneficios esperados.

viernes, 29 de agosto de 2014

Ejemplo 3.INFORME DE RESULTADOS - II

Variables Duales: 

Para la primera restricción, el valor cero de la variable dual indica que las ganancias totales óptimas no variarán por cada Bolívar en que se incremente el máximo de presupuesto disponible actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de más información, sería indiferente incrementar este monto máximo disponible. Para la segunda restricción, el valor 4 de la variable dual indica que las ganancias totales óptimas aumentarán en cuatro unidades ( $ 4) por cada metro cuadrado en que aumente el máximo de metros cuadrados disponibles actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de información adicional, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. 
El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada metro adicional sería de 4 unidades monetarias. La cantidad máxima a la que se puede incrementar esta cantidad de metros cuadrados es de 9.500, tal como lo indica el análisis de sensibilidad de la solución. Más allá de esa cantidad, la solución básica cambiaría, cambiando el monto de la variable dual y obligando a hacer un análisis diferente. Para la tercera restricción el valor 100 de la variable dual indica que las ganancias totales óptimas aumentarán en cien unidades por cada almacén tipo 
A en que se incremente el máximo demandado actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de información adicional, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada almacén A en que se incremente este monto a fabricar para la demanda sería de 100 unidades monetarias. Se podría aumentar hasta un máximo de 80 almacenes, pues más allá de ese monto la solución básica cambiará y así también el valor dual.

jueves, 28 de agosto de 2014

Ejemplo 3.INFORME DE RESULTADOS - I

Solución Óptima:

X1 = 60 X2= 40 Función Objetivo = 38000
Fabricar 60 mini-almacenes tipo A y 40 mini-almacenes tipo B.
Función Objetivo: Las ganancias máximas obtenidas por alquilarlos es de $ 38000

Holguras:

Restricción 1: Queda un disponible de $ 12000 del presupuesto total máximo, sin utilizar.
Restricción 2: Se utiliza la totalidad máxima disponible de metros cuadrados
Restricción 3: Se fabrica el máximo de mini-almacenes tipo A.
Análisis de Sensibilidad de la Solución:
a) Los rangos de variación dentro de los cuales la Base no cambia, indican los siguientes rangos para los coeficientes de las variables en la Función Objetivo:
La ganancia que proporciona cada almacén tipo A puede variar entre 400 e infinito y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango, el valor de las ganancias totales (Función Objetivo)
puede variar dependiendo del valor que tome la ganancia de cada almacén dentro de ese rango. Si cambia a 400, existiría además una solución óptima alterna.
La ganancia que proporciona alquilar cada almacén tipo B puede variar entre 0 y 250 y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango, el valor de las ganancias totales (Función Objetivo) puede variar dependiendo del valor que tome la ganancia de cada almacén dentro de ese rango. Si cambia a 250, existiría además una solución óptima alterna.
b) Los rangos de variación dentro de los cuales la Base no cambia, indican los siguientes rangos para los lados derechos de las restricciones:
La cantidad de presupuesto máximo disponible puede variar entre 28.000 e ¥ y la solución básica seguirá siendo la misma.
La cantidad de metros cuadrados máximo disponibles puede variar entre 6.000 9.500 y la solución básica seguirá siendo la misma.
La cantidad de almacenes tipo A demandados puede variar entre 40 y 80 y la solución básica seguirá siendo la misma.

miércoles, 27 de agosto de 2014

Ejemplo 3.

Una empresa de alquiler de depósitos personales desea expandirse y construir nuevos Minialmacenes. Para ello puede construir mini-almacenes tipo A (X1) y mini-almacenes tipo B (X2) con restricciones sobre el presupuesto a gastar en la construcción de esos mini-almacenes (Restricción 1), limitación de espacio de metros cuadrados de espacio para los mini-almacenes (restricción 2 ) Limitación sobre el número de mini-almacenes tipo A que puede construir por razones de demanda de alquiler de esos mini-almacenes (restricción 3). El objetivo que quiere lograr es la maximización de ganancias ( en $) obtenidas en el alquiler. La formulación y la solución del modelo se obtiene en computadora usando el programa LINDO.

martes, 26 de agosto de 2014

INFORME DE RESULTADOS: Part 2

Los ingresos que proporciona cada visita a cliente profesional pueden variar entre 3.200 y 7.272,727 y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de los ingresos totales, Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome ese ingreso dentro de ese rango. Si cambia a 3.200 o 7.272, 727 existiría además una solución óptima alterna.
Los ingresos que proporciona cada visita a cliente industrial pueden variar entre 6.875 e 8 y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de los ingresos totales, Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome ese ingreso dentro de ese rango. Si cambia a 6.875 existiría además una solución óptima alterna.
Variables Duales: 
Para la primera restricción el valor 625 de la variable dual indica que los ingresos totales óptimos aumentarán en esa cantidad, por cada hora en que se incremente el máximo de horas disponible actualmente para las visitas, siempre y cuando ese incremento sea utilizado. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. La cantidad máxima a la que se puede incrementar esta cantidad de horas es de 4942.857 tal como lo indica el análisis de sensibilidad de la solución. Más allá de esa cantidad, la solución básica cambiaría, cambiando el monto de la variable dual y obligando a hacer un análisis diferente. Para la segunda restricción el valor 0 de la variable dual indica que los ingresos totales óptimos no aumentarán por cada unidad monetaria en que se incremente el máximo presupuesto disponible actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería indiferente incrementar este monto máximo disponible. La cantidad máxima a la que se puede incrementar esta cantidad teóricamente es una cantidad infinita tal como lo indica el análisis de sensibilidad de la solución. En la práctica se refiere a cualquier cantidad finita. Para la tercera restricción el valor 0 de la variable dual indica que los ingresos totales óptimos no variarán por cada hora en que se incremente el máximo de 20% requerido actualmente para realizar visitas a clientes comerciales. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería indiferente incrementar este monto máximo. Para la cuarta restricción el valor 89.28571 de la variable dual indica que los ingresos totales óptimos aumentarán en esa cantidad por cada $ en que se incremente el máximo de 30% requerido actualmente para viáticos de visitas a realizar a clientes profesionales. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. La cantidad máxima a la que se puede incrementar esta cantidad es de 9777,778 tal como lo indica el análisis de sensibilidad de la solución. Más allá de esa cantidad, la solución básica cambiaría, cambiando el monto de la variable dual y obligando a hacer un análisis diferente. 

NOTA: El uso de Programación Lineal Entera resulta más conveniente en este modelo.

lunes, 25 de agosto de 2014

INFORME DE RESULTADOS: Part 1

Solución Óptima:

X1 = 0 X2 = 282.142900 X3 = 85.714290
Interpretando esos valores, a la luz de los significados de las variables en el modelo, se tiene lo siguiente:
No realizar visitas a clientes comerciales, realizar 282.1429 visitas a clientes Profesionales y 85.714290 visitas a clientes industriales. Seria conveniente el uso de Programación Lineal Entera.

Función Objetivo.

Los ingresos máximos obtenidos por ventas son de 2.267.857 unidades monetarias. (Recuerde que cualquier cantidad colocada después del punto, en los resultados, es una cifra decimal, ya que los programas utilizan notación inglesa).

Holguras:

Restricción 1: No quedan disponibles horas para visitas, se utilizan todas las disponibles.
Restricción 2: Del presupuesto total máximo para gastos de viático quedan disponibles 3050 $.
Restricción 3: Queda sin utilizar el máximo requerido de 640 horas para visitas a Comerciales. O también: Quedan disponibles las 640 horas máximas, requeridas para visitas a clientes comerciales ya que no se realiza visitas a estos clientes.
Restricción 4: Se utilizar el total del máximo requerido de $ de viáticos para visitas a clientes
Profesionales. O también: No queda disponibilidad alguna de los viáticos máximos para estas visitas.

Análisis de Sensibilidad:

a) Los rangos de variación para los coeficientes de las variables en la Función Objetivo:
Los ingresos que proporciona cada visita a cliente comercial pueden variar entre - infinito y 3.125 y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de los ingresos totales, Función Objetivo, no varían ya que el valor de la variable X1 es cero, por lo tanto al multiplicarla por cualquier valor dentro de ese rango no tendrá ningún efecto en el valor del objetivo .

viernes, 22 de agosto de 2014

EJEMPLO 2.

Una empresa vende su producto, a través de agentes vendedores, mediante visitas de venta a tres tipos de clientes: Comerciales, Industriales y Profesionales. Por cada visita de venta a un cliente comercial obtiene ingresos por ventas de $ 2.000, por cada visita a un cliente industrial obtiene $ 5.000 y por cada visita a un cliente Profesional obtiene $ 10.000 de ingreso por venta.
En el mes actual se dispone de 3.200 horas de los agentes vendedores para efectuar las visitas y de $ 10.000 para gastos de viáticos.
La administración no permite que más del 20% del tiempo para visitas de venta se dedique a visitar clientes comerciales, ni tampoco acepta que más de un 30% del presupuesto de viáticos sea utilizado en visitas a clientes profesionales.
Para visitar un Cliente Comercial se utilizan 5 horas, 8 para un Cliente Industrial y 11 para un Cliente Profesional.
Los gastos de viáticos por cada visita a cliente Comercial son de $ 10; $ 14 por cada visita a cliente Industrial y a $ 35 por cada visita a cliente Profesional. Se desea maximizar los ingresos de ventas.
Formulación y construcción del modelo:

Variables de Decisión: X1, X2 Y X3, representando visitas a realizar a clientes Comerciales, Industriales y Profesionales respectivamente.
Función Objetivo: Maximizar los ingresos de ventas.

Restricciones:

Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas para realizar las visitas
Restricción 2: Disponibilidad limitada de $ para gastos de viáticos.
Restricción 3: Requerimiento de no más del 20% del tiempo para visitas a clientes comerciales.
Restricción 4: Requerimiento de no más del 30% del presupuesto para viáticos en visitas a clientes profesionales.
En la solución del modelo obtenida usando el programa LINDO en computadora, se presenta la construcción del modelo.
Nota: Si desea copiar el modelo, para que lo muestre junto con los resultados, debe utilizar los comandos necesarios señalados en el manual del programa.

jueves, 21 de agosto de 2014

Variables Duales:

Se leen en Lingo y en Lindo: en los espacios correspondientes a DUAL PRICES a partir de la fila (row) 2 correspondiente a la primera restricción.
Se lee en What´sBest: en “Variables duales” indicándose para cada restricción (R)
Se leen en QSB: en la columna “Opportunity Cost” y las filas con denominación S1, S2, S3, S4, S5
y A6. Observe que la variable dual correspondiente a la restricción de tipo >= se lee en la casilla correspondiente a la variable artificial usada en esa restricción.
La información sobre las variables duales dada es la siguiente: Para la primera restricción el valor 1.5 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos aumentarán en 1.5 unidades monetarias por cada minuto en que se incremente el máximo de minutos disponible actualmente en la máquina 1. Esto es siempre y cuando ese minuto adicional se utilice realmente. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar sería de 1.5 unidades monetarias. El monto máximo en que se podría incrementar es 7440, pues más allá de ese monto la solución básica cambia y se tendría una situación diferente. Para la segunda restricción el valor 0 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos no variarán por cada minuto en que se incremente el máximo disponible actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería indiferente incrementar este monto máximo disponible. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada minuto adicional sería de 0 unidades monetarias. Para la tercera restricción el valor 3 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos se incrementarán en 3 unidades por cada componente 3 en que se incremente el máximo a producir actualmente. Esto es siempre y cuando ese componente adicional se produzca realmente Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería conveniente incrementar este monto máximo disponible. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada componente 3 producido adicionalmente sería de 3 unidades monetarias. El monto máximo en que se puede incrementar es 900, pues más allá de ese monto la solución básica cambia y se tendría una situación diferente. Para la cuarta restricción el valor 0 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos no variarán por cada componente 1 en que se incremente el máximo a producir actualmente. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería indiferente incrementar este monto máximo. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada componente 1 adicional sería de 0 unidades monetarias. Para la quinta restricción el valor 0 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos no variarán por cada componente 2 en que se incremente el máximo a producir actualmente. Esto es siempre y cuando ese componente adicional se produzca realmente. 
Por lo tanto, en ausencia de mayor información, sería indiferente incrementar este monto máximo disponible. El precio máximo que se estaría dispuesto a pagar por cada componente 2 adicional sería de 0 unidades monetarias. Para la sexta restricción el valor -1 de la variable dual indica que los beneficios totales óptimos disminuirán en 1 unidad monetaria, por cada componente 1 en que se incremente el mínimo de componente 1 demandado actualmente. Por lo tanto, en ausencia de mayor información, no sería conveniente incrementar este monto máximo disponible.

miércoles, 20 de agosto de 2014

Análisis de Sensibilidad - II

b) Rangos para los lados derechos de las restricciones: (RHS) el análisis presenta la cantidad permitida de crecimiento y la cantidad de decrecimiento permitido para cada lado derecho de las restricciones. Para determinar el rango se debe sumar y restar, respectivamente, estas cantidades al lado derecho actual que tiene la restricción.
La cantidad máxima de horas disponibles en la máquina 1 puede variar entre 4400 y 7440 y la solución básica seguirá siendo la misma.
La cantidad máxima de horas disponibles en la máquina 2 puede variar entre 6300 e ¥ y la solución básica seguirá siendo la misma.
La cantidad máxima de componente 3 a fabricar puede variar entre 100 y 900 y la solución básica seguirá siendo la misma. 
La cantidad máxima de componente 1 a fabricar puede variar entre 600 e ¥ y la solución básica seguirá siendo la misma. 
La cantidad de máxima de componente 2 a fabricar puede variar entre 700 e ¥ y la solución básica seguirá siendo la misma. 
La cantidad mínima de componente 1 a fabricar para la demanda ya contratada puede variar entre 514.28 y 1000 y la solución básica seguirá siendo la misma. 
En el programa QSB se lee el resultado del análisis de sensibilidad, en las tablas correspondientes a análisis de sensibilidad para los coeficientes de las variables en la Función Objetivo (Sensitivity Analysis for OBJ Coefficients) y en la de análisis de sensibilidad para el lado derecho Right Hand Side). de las restricciones (Sensitivity Análisis for RHS). 
En ellas se presentan directamente los límites máximo y mínimo, para cada coeficiente y para cada lado derecho, en las columnas correspondientes a “Max. Cj” y “Min. Cj”, para los coeficientes. Se lee en las columnas “max.Bi” y “Min. Bi” para el lado derecho de las restricciones.

martes, 19 de agosto de 2014

Análisis de Sensibilidad - I

El Programa WHAT´sBEST no proporciona análisis de sensibilidad de la solución. Sin embargo, este análisis puede realizarse efectuando cambios en los elementos componentes del modelo. Seguidamente se procede a solucionarlo de nuevo para observar el efecto causado sobre la solución óptima. Se presenta este análisis con los resultados del programa LINDO. Los rangos de variación dentro de los cuales la Base no cambia (RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED) indica: 

a) Los rangos para los coeficientes (COEF) de las variables en la Función Objetivo, y b) Los rangos para los lados derechos de las restricciones. a) Rangos para los coeficientes (COEF) de las variables en la Función Objetivo: El análisis presenta la cantidad permitida de crecimiento y la cantidad de decrecimiento permitido para cada coeficiente. Para determinar el rango se debe sumar y restar, respectivamente, estas cantidades al coeficiente actual (CURRENT COEF). que tiene la variable. Se obtiene:
El beneficio que proporciona cada componente 1 producido y vendido puede variar entre - ¥ y 9. Dentro de ese rango la solución básica seguirá siendo la misma y el valor de las ganancias totales,ó Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome esa ganancia dentro de ese rango. Si cambia a 9 existiría además una solución óptima alterna. 
El beneficio que proporciona cada componente 2 producido y vendido puede variar entre 5.3334 y 9 y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de las ganancias totales, Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome esa ganancia dentro de ese rango. Si cambia a 5.3334 ó a 9 existiría además una solución óptima alterna. 
El beneficio que proporciona cada componente 3 producido y vendido puede variar entre 6 e ¥ y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de las ganancias totales, Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome esa ganancia dentro de ese rango. Si cambia a 6 existiría además una solución óptima alterna.

lunes, 18 de agosto de 2014

INFORME DE RESULTADOS:

Solución Óptima.

En cualquiera de los formatos de salida de datos puede leer la misma solución:
Fabricar 600 componentes 1, fabricar 700 componentes 2 y 200 componentes 3.
Para nombrar estas variables de decisión en los programas, pueden ser usadas diferentes denominaciones. En el manual de los programas se incluye más información al respecto. En este modelo, los nombres que se han colocado en cada programa se leen:
En Lingo: en la columna “VALUE” y las filas con los nombres C1, C2, y C3.
En Lindo: en la columna “VALUE” y las filas con denominación X1, X2, y X3.
En What´sBest: en las columnas C1,C2 y C3 y la fila CANTIDAD PRODUCIDA
En QSB: en la columna “Variables Names” y las filas con denominación X1, X2, y X3.
El número de iteraciones realizadas para llegar al óptimo depende del algoritmo de solución utilizado.

Función Objetivo:

Los Beneficios Máximos obtenidos por su producción y venta es de 10.800 unidades monetarias. (Recuerde que en los resultados se usa notación inglesa; cualquier cantidad colocada después del punto, es  un decimal).
Se lee en Lingo: en “Objective value”.
Se lee en Lindo: en “OBJECTIVE FUNCTION VALUE”
Se leen en QSB: en la tabla de resultados en la fila con texto “Maximum Value of the OBJ”
Se lee en What´sBest: en “BENEFICIO TOTAL”

Holguras:

Restricción 1: Holgura de valor cero. NO quedan minutos disponibles en la máquina 1. Se utiliza la totalidad máxima disponible de minutos en esa Máquina 1
Restricción 2: Holgura de valor 300. Queda un disponible de 300 minutos sin utilizar en la Máquina 2, con relación al total máximo establecido en la Máquina 2.
Restricción 3: Holgura de valor cero. No se deja de fabricar C3 con relación a la cantidad máxima establecida. Se fabrica el máximo establecido que se puede vender.
Restricción 4: Holgura de valor 400. No se fabrican 400 componentes 1 con relación al máximo que se puede vender. Se fabrican 600
Restricción 5: Holgura de valor 300. No se fabrican 300 componentes 2 con relación al máximo que se puede vender. Se fabrican 700.
Restricción 6: Holgura de valor cero. No se fabrica C1 por encima de la cantidad mínima demandada. Se fabrica el mínimo para cubrir la demanda ya contratada.
Se leen en Lingo y en Lindo en “SLACK or SURPLUS” a partir de la fila (row) 2 correspondiente a la primera restricción.
Se lee en What´sBest: en “cantidad en el óptimo” indicándose para cada restricción.
Se leen en QSB: en la columna “Variables Names” y las filas con denominación S1, S2, ......, S6.

domingo, 17 de agosto de 2014

EJEMPLO Part 4

d) Uso del Programa QSB
Solución del Modelo
A continuación aparece el informe de resultados para este modelo. Allí se indica el lugar o posición donde se lee cada valor señalado en dicho informe. Para los ejemplos posteriores no se repetirán estas explicaciones.

sábado, 16 de agosto de 2014

EJEMPLO Part 3

c) Uso del Programa WHAT´sBEST Introducción de datos del modelo
Solución del Modelo:

viernes, 15 de agosto de 2014

EJEMPLO Part 2

b) Uso del Programa LINDO
Introducción de datos del modelo y Solución del modelo:

jueves, 14 de agosto de 2014

EJEMPLO Part 1

Una empresa manufacturera elabora tres componentes: 1, 2 y 3 para vender a compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en dos máquinas A y B. La máquina A está disponible por 120 horas y la máquina B esta disponible por 110 horas. No más de 200 unidades de componente 3 podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades de cada uno de los otros dos componentes pueden ser vendidas. De hecho, la empresa tiene ya ordenes de 600 unidades de componente 1 que deben ser satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1, 2 y 3 son de Bs. 8, 6 y 9 respectivamente. Los tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cada máquina son:
El modelo elaborado y su solución se presentan a continuación, utilizando diferentes programas (software) como: a) Lingo b) Lindo, c) What´sBest y d) QSB. Puede observar la forma diferente de la entrada de datos y del formato de resultados. Las formas para introducir los datos en los diferentes programas serán detalladas en el “Manual de Programas” que se anexará a este texto.


a) Uso del Programa LINGO

miércoles, 13 de agosto de 2014

SECCION E. Uso de la Computadora en Programación Lineal - II

PRACTICA. Solución de modelos utilizando el computador. 
El campo de aplicación de Programación Lineal es muy amplio. Entre los modelos más utilizados, y considerados clásicos dentro de la Investigación de Operaciones, están los de Programación de la Producción. El problema a continuación ilustrará un caso particular para un sistema de producción.

martes, 12 de agosto de 2014

SECCION E. Uso de la Computadora en Programación Lineal - I

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría. 
1. Existe gran cantidad de programas comerciales de computadora para resolver modelos lineales. 
2. Todos esos programas son semejantes porque sirven para resolver modelos lineales. Son diferentes en cuanto a la cantidad de variables y restricciones que puede manejar, los formatos de entrada y salida de datos, y a la implementación del Método Simplex o de Puntos Interiores. 
3. Cada programa, legalmente adquirido, tiene un manual del usuario con las instrucciones necesarias. 
4. Los programas comerciales utilizados en la enseñanza, se aplican en la solución de modelos con pocas variables y restricciones a fin de facilitar el aprendizaje. 
5. Se usará el programa LINDO ( Linear INteractive and Discrete Optimizer), LINGO y What’s Best elaborados por Lindo Systems. En algunos modelos se usará Quantitative System Business QSB presentado por la Prentice Hall Inc. 
6. Los programas elaborados por Lindo Systems se crearon para trabajar con sistema operativo Windows. El Programa QSB emplea el sistema operativo MS-DOS

lunes, 11 de agosto de 2014

Dualidad

La variable dual mostrada para la primera restricción en la columna de DUAL PRICES tiene un valor de 6. En forma general la información que proporciona ese valor (15) es el siguiente: “Cada unidad en que se incremente el lado derecho de la primera restricción incrementará el valor de la Función Objetivo en 6, siempre y cuando ese incremento en la restricción sea utilizado” 
La variable dual de la segunda restricción, con valor cero, se definiría como el incremento que tendría el objetivo por cada unidad en que se incrementara el lado derecho de la segunda restricción. En este caso, como tiene valor cero, la Función Objetivo no variaría. Puede observarse que la segunda restricción tiene holgura positiva. 
Estos valores ayudan a determinar si sería conveniente incrementar esos lados derechos de las restricciones. En ausencia de mayor información, en este caso sería conveniente incrementar el lado derecho de la primera restricción porque se está maximizando y será indiferente incrementar el lado derecho de la segunda restricción. Puede comprobar que los valores de las funciones objetivo del modelo Original y la del modelo Dual son iguales.
Este procedimiento comprueba que ambas soluciones, la original y la dual, son soluciones óptimas para sus respectivos modelos.

domingo, 10 de agosto de 2014

Análisis de Sensibilidad de la solución cuando aparece una nueva restricción.

Para efectuar este análisis debe hacerse lo siguiente: 
Primero, debe definirse claramente la nueva restricción en el modelo. 
Segundo, debe expresarse matemáticamente la nueva restricción, es decir, debe formularse. 
Tercero, debe utilizarse, en la nueva restricción, los valores óptimos que tienen actualmente las variables. 
Cuarto, debe determinar si los valores óptimos satisfacen la nueva restricción. Si la nueva restricción es satisfecha con los valores óptimos actuales, entonces debe concluirse que la solución actual sigue siendo la misma. La solución no será sensible cuando aparecen restricciones de ese tipo. Se incorporara la nueva restricción al modelo y se continuará con la misma solución básica. Si la nueva restricción no es satisfecha con los valores óptimos actuales, entonces debe concluirse que la solución actual cambiará, la solución será muy sensible cuando aparecen restricciones de ese tipo, se incorporara la nueva restricción al modelo y se calculará una nueva solución básica. En el modelo utilizado, se iniciará con el segundo paso, expresando matemáticamente una nueva Restricción. Suponga que aparece una nueva restricción que es la siguiente:
Se determina de este modo que los valores óptimos actuales de las variables satisfacen la nueva restricción, por lo tanto se incorpora esta nueva restricción al modelo, se continúa con la misma solución y se concluye que la solución actual no es sensible cuando aparece una restricción de este tipo. Si la nueva restricción hubiese sido, por ejemplo:
Se demostraría que 3(10) + 4(0) no es menor o igual que 15, por lo tanto la nueva restricción no se satisface con los valores óptimos actuales de las variables, debe entonces incorporarse al modelo y calcularse una nueva solución. Se concluye que la solución actual es sensible cuando aparece una restricción de este tipo.

sábado, 9 de agosto de 2014

Análisis de Sensibilidad cuando cambia el lado derecho de una restricción.

Para determinar los Rangos de Variación de los lados derechos de las restricciones dentro de los cuales la base no cambia (16), se presentan en la tabla de resultados los incrementos y decrecimientos permitidos que se agregaran y restarán, respectivamente, del valor actual, para obtener los límites inferior y superior del rango de variación:
Para mayor detalle puede ver el capítulo de Análisis de Sensibilidad en el texto elaborado por la cátedra: “ Programación Lineal para Toma de Decisiones”

viernes, 8 de agosto de 2014

Análisis de Sensibilidad de la solución cuando cambia un coeficiente de una variable en la Función Objetivo.

En los resultados de computadora se lee para el coeficiente actual (CURRENT COEF) de la variable X1 el crecimiento permitido (ALLOWABLE INCREASE) que indica un valor infinito. De igual manera se lee el decrecimiento permitido para el valor actual ( ALLOWABLE DECREASE) de ese coeficiente que indica un valor de 2. 
Igualmente proporciona los montos permitidos de decrecimiento y crecimiento permitidos para el coeficiente de la variable X2. Con esta información pueden calcularse los límites inferior y superior permitidos, en esta solución básica óptima, para el coeficiente de cada variable en la Función Objetivo; es decir, los Rangos de Variación de los coeficientes de las variables de decisión dentro de los cuales la base no cambia (3). El coeficiente de la variable X1 es actualmente 6 y el incremento permitido es infinito, por lo que el límite superior de crecimiento sería teóricamente infinito. Aunque esto en la práctica no es cierto, lo es desde el punto de vista matemático y por ello se asume de esa forma. 
El decrecimiento permitido es de 2 unidades y por lo tanto el límite inferior del rango de variación permitido, para que la solución óptima no cambie, es 4. De manera similar se obtienen los límites de variación para el coeficiente de la variable X2.
La interpretación de estos valores tiene que ver con el contenido o significado de cada variable y del objetivo, dentro del modelo. No habiéndose definido las variables, ni las restricciones, ni el objetivo, se interpretarán en forma general: 
El coeficiente de la variable X1 PUEDE variar entre 4 e infinito y la solución básica seguirá siendo la misma. Dentro de ese rango el valor de la Función Objetivo, puede variar dependiendo del valor que tome ese coeficiente dentro de ese rango. 
Esto es así por lo siguiente: Si el coeficiente cambia dentro de ese rango, la solución básica es la misma; es decir, X1 por ejemplo seguirá igual. Si el coeficiente de esa variable cambia a 5 (un valor dentro del rango) entonces, en lugar de multiplicar X1, que sigue igual, por el coeficiente 6 (que tiene actualmente) se multiplicará por 5, y el valor del objetivo disminuirá. 
Si cambia a 10 el objetivo aumentará. Si cambia a 4 el valor del objetivo disminuirá y como está en uno de los límites del rango será siempre una indicación de que el modelo tiene solución óptima alterna. 
Si la variable X1, no hubiese sido básica, tuviese valor cero, entonces el valor del objetivo no variaría dentro de ese rango. Esto es así, porque la variable seguiría siendo la misma y multiplicar cero por cualquier valor dentro del rango del coeficiente no haría variar el valor del objetivo. (Un análisis similar se efectuaría para el rango de variación del coeficiente de la variable X2).

jueves, 7 de agosto de 2014

Práctica. Análisis de sensibilidad. Dualidad

El procedimiento matemático para realizar análisis de sensibilidad de la solución, es diferente en cada caso. Depende de cuál de los elementos componentes del modelo, varía. 
Los programas de computadora pueden proveer este análisis para los casos de cambio en los coeficientes de las variables en la Función Objetivo y cuando cambian los lados derechos de las restricciones. Estos resultados se utilizarán para estudiar esos casos. 
En forma manual, se efectuará análisis de sensibilidad de la solución cuando aparece una nueva restricción. Para estudiar dualidad también se usarán resultados dados por la computadora. El modelo presentado en la sección C1 y solucionado con el programa LINDO permite ilustrar los conceptos a estudiar.

miércoles, 6 de agosto de 2014

SECCION D. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales - II

11 En el Modelo Dual el lado derecho de sus restricciones está conformado por los coeficientes de las variables de la Función Objetivo en el modelo original. A su vez, el lado derecho de las restricciones del modelo original conforma los coeficientes de la Función Objetivo del modelo Dual. Los coeficientes de cada restricción en el Modelo Dual corresponden a los coeficientes de cada variable del modelo original. 
12 La Función Objetivo del Modelo Dual es el reverso de la Función Objetivo original. Si en el modelo original se maximiza, en el Dual se minimiza y viceversa. 
13 Para la elaboración del Modelo Dual, a partir de un modelo normal de minimización (todas las restricciones son del Tipo ³) y de un modelo normal de maximización ( todas las restricciones son del Tipo £), se revierte el sentido de las desigualdades y el signo de las variables. 
14 La solución del Modelo Dual provee información adicional para la decisión que se tomará con la solución del modelo original. 
15 Cada variable Dual informa en cuánto variará la Función Objetivo del modelo original por cada unidad en que se incremente el lado derecho de la restricción, del modelo original, a la que se refiere esa variable dual. Siempre y cuando esa unidad de incremento sea realmente utilizada. Esto permite determinar la conveniencia o no de incrementar un determinado lado derecho de una restricción. 
16 Los incrementos permitidos, en el lado derecho de las restricciones, los informará el rango dado por el análisis de sensibilidad de la solución cuando estos elementos cambian. Más allá de esos montos, la solución básica cambiará. 
17 Las variables duales son válidas sólo para la respectiva solución básica óptima. Si la solución básica óptima cambia, las variables duales cambian. Sólo en un mínimo número de casos permanecen con sus valores. 
18 Si existen dos soluciones posibles para dos modelos (El original y el Dual) de tal manera que los valores de sus respectivas funciones objetivo son iguales, se puede concluir que ambas soluciones son óptimas para sus respectivos modelos.

martes, 5 de agosto de 2014

SECCION D. Análisis de Sensibilidad de la Solución Optima y Dualidad en Modelos Lineales - I

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de análisis de sensibilidad en Programación Lineal 
1 Análisis de Sensibilidad, llamado también Análisis de Post-optimización, es una estrategia utilizada para tomar en consideración los cambios que pueden ocurrir en los elementos componentes del modelo. Permite conocer cuán sensible es la solución óptima a cambios que ocurran en coeficientes, variables, restricciones y Función Objetivo. 
2 Siendo determinístico, el modelo de Programación Lineal, asume que se conocen con certeza sus datos de insumo. Sin embargo, nada en la vida es constante. Por ello, el análisis de sensibilidad justifica plenamente la utilización de este modelo al presentar los efectos de los cambios que pueden ocurrir durante el periodo de planificación para el que se está utilizando el modelo, y aún durante la solución del mismo. 
3 Cuando cambia un número, insumo del modelo, tal como un coeficiente o parámetro, o un lado derecho de una restricción, el análisis de sensibilidad de la solución muestra un rango de valores dentro de los cuales ese número puede cambiar sin cambiar la solución básica obtenida. 
4 Disminuir el lado derecho de una restricción del Tipo “mayor o igual que” ( ³ ) o incrementarlo en una restricción del Tipo “menor o igual que” ( £ ) implica hacerla más fácil de satisfacer. El espacio de solución, en estos casos, se expande o lo deja igual. 
5 Disminuir el lado derecho de una restricción del Tipo “menor o igual que” ( £ ) o incrementarlo en una restricción del Tipo “mayor o igual que” ( ³ ) implica hacerla más difícil de satisfacer. El espacio de solución, en estos casos, se contrae o lo deja igual. 
6 Cuando ocurren cambios en el número de variables, aparece una nueva restricción o cambian todos los coeficientes en el objetivo, el análisis de sensibilidad indicará el efecto que esto ocasiona sobre la solución básica. 
7 Debe recordar que el análisis se refiere a la sensibilidad de la solución básica óptima, no a la sensibilidad de un coeficiente o de una restricción, etc. 
8 La Dualidad en Programación Lineal tiene su esencia en el hecho de existir dos modelos lineales cuando se ha planteado sólo uno para resolver un problema específico. 
9 El modelo Lineal asociado al Modelo Lineal Original o Principal se denomina Modelo Dual. Cuando se obtiene la solución de uno, se está obteniendo también la solución del otro. 
10 El Modelo Dual contiene: a) Una cantidad de variables igual a la cantidad de restricciones que existan en el modelo original, b) Una cantidad de restricciones igual a la cantidad de variables que existan en el modelo original.

lunes, 4 de agosto de 2014

Solución con el PROGRAMA LINDO

Nota: En cada Tipo de programa que se use, la entrada de datos y el formato de salida de datos puede ser diferente. La lectura de los resultados en este formato es explicada en la sección correspondiente al uso de computadora en la solución de modelos lineales.

domingo, 3 de agosto de 2014

Solución con el Método Gráfico.

(Se usa el programa de computadora QSB.)
En la parte superior del gráfico se indica cuáles son las restricciones (constraints), cuál es la función Objetivo y cuál es la región solución, señalando los colores en que han sido graficadas. 
Como puede observarse, el gráfico muestra el espacio de soluciones posibles y las restricciones, señaladas con los números 1 y 2. La función objetivo es graficada para mostrar claramente el último punto extremo que esa función toca antes de salir totalmente de la región solución y que es, por lo tanto el punto extremo óptimo. 
Observando la pendiente de la recta que representa el objetivo se puede ver que el punto extremo que toca, en su crecimiento antes de llegar al punto óptimo, es el correspondiente a X1= 2, X2 = 0. 
Este punto se muestra en la iteración 2 del proceso de solución con el Simplex Regular realizado anteriormente. 
En los resultados obtenidos con el método gráfico se tiene escrita la solución óptima y el valor óptimo del objetivo. En la parte inferior del gráfico muestra la escala en que se ha graficado. 
Posteriormente muestra las teclas que tiene que pulsar para realizar análisis de sensibilidad (F1), para salir de donde está en ese momento ( F2) ó para imprimirlo ( F8).

viernes, 1 de agosto de 2014

Solución utilizando el Programa QSB.- II

Este método muestra las iteraciones del Método Simplex, eliminando las variables artificiales en una primera etapa. Posteriormente, si las variables artificiales toman valor cero, continua con el proceso de solución y obtiene los valores para el resto de las variables. La solución se lee al igual que en el Método Simplex desarrollado anteriormente.