PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICA Parte 3

5. Encuentre el punto óptimo. 

 Se puede demostrar, en términos matemáticos, que la combinación óptima de las variables de decisión siempre está en el punto extremo (esquina) del polígono convexo. En la ilustración 2A.1 hay cuatro puntos en las esquinas (excluyendo el origen) y se puede determinar cuál es el óptimo al tenor de los dos enfoques. El primer enfoque busca encontrar los valores de las diversas soluciones de las esquinas en términos algebraicos. Esto implica resolver simultáneamente las ecuaciones de los distintos pares de líneas que se intersectan y sustituir las cantidades de las variables resultantes en la función objetivo. Por ejemplo, el cálculo para la intersección de 2H + 6C = 72 y C = 10 son:

Al sustituir C = 10 en 2H + 6C = 72 se tendrá que 2H + 6(10) = 72, 2H = 12, o H = 6. Si se sustituye H = 6 y C = 10 en la función objetivo se tendrá: 

Utilidad = $2H + $4C = $2(6) + $4(10) = $12 + $40 = $52 

Una variante de este enfoque es leer las cantidades de H y C directamente en la gráfi ca y sustituirlas en la función objetivo, como muestra el cálculo anterior. El inconveniente de este enfoque es que en problemas que tienen un número considerable de ecuaciones de restricción habrá muchos puntos posibles que se deban evaluar y el procedimiento de comprobar cada uno en términos matemáticos no es eficiente. El segundo enfoque, generalmente preferido, entraña utilizar directamente la función objetivo, o línea de isoutilidad, para encontrar el punto óptimo. El procedimiento implica simplemente trazar una línea recta paralela a una línea de isoutilidad, elegida de forma arbitraria, de modo que la línea de isoutilidad es la más alejada del origen de la gráfi ca. (En problemas de minimización de costos, el objetivo sería trazar la línea por el punto más cercano al origen.) En la ilustración 2A.1, la línea punteada marcada $2H + $4C = $64 intersecta el punto más distante. Advierta que la línea de isoutilidad inicial escogida arbitrariamente es necesaria para presentar la pendiente de la función objetivo del problema particular.1 Esto es importante porque una función objetivo diferente (pruebe utilidad = 3H + 3C) podría indicar que algún otro punto está más lejos del origen. Dado que $2H + $4C = $64 es óptimo, el monto de cada variable para producir se puede leer en la gráfi ca: 24 bastones de hockey y cuatro juegos de ajedrez. Ninguna otra combinación de productos produce una utilidad mayor.

PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICA Parte 2

4. Trace la función objetivo. 

La función objetivo se puede trazar suponiendo una cifra arbitraria para la utilidad total y, a continuación, resolviendo la ecuación con el fi n de conocer las coordenadas del eje, como se hizo en el caso de las restricciones. Otros términos de la función objetivo cuando se usan en este contexto son la isoutilidad o línea de contribución igual, porque muestra todas las combinaciones posibles de la producción para una cifra de utilidad dada. Por ejemplo, si se toma la línea punteada más próxima al origen de la gráfi ca, se pueden determinar todas las combinaciones posibles de bastones de hockey y de juegos de ajedrez que rinden 32 dólares eligiendo un punto en la línea y leyendo el número de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las combinaciones que producen 32 dólares en el punto a sería 10 bastones de hockey y tres juegos de ajedrez. Se puede constatar lo anterior sustituyendo H = 10 y C = 3 en la función objetivo:


$2(10) + $4(3) = $20 + $12 = $32
H C Explicación
0 120/6 = 20 intersección de restricción (1) y eje C
120/4 = 30 0 intersección de restricción (1) y eje H
0 72/6 = 12 intersección de restricción (2) y eje C
72/2 = 36 0 intersección de restricción (2) y eje H
0 10 intersección de restricción (3) y eje C
0 32/4 = 8 intersección de línea de isoutilidad $32 (función objetivo) y eje C
32/2 = 16 0 intersección de línea de isoutilidad $32 y eje H
0 64/4 = 16 intersección de línea de isoutilidad $64 y eje C
64/2 = 32 0 intersección de línea de isoutilidad $64 y eje H

PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICA Parte 1

Si bien la aplicación de la programación lineal gráfica se limita a problemas que incluyen dos variables en la decisión (o tres variables en el caso de gráficas tridimensionales), la programación lineal gráfica proporciona una visión inmediata de la índole de la programación lineal. Se describirán los pasos que implica el método gráfico en el contexto de Puck and Pawn Company. Los pasos que se presentan a continuación ilustran el enfoque gráfico:

1. Plantee el problema en términos matemáticos. 

Las ecuaciones para el problema presentadas antes.

2. Trace las ecuaciones de las restricciones. 

Las ecuaciones de las restricciones se pueden trazar fácilmente si se deja que una variable sea igual a cero y se resuelve la intersección del eje de la otra. (En este paso no se consideran las fracciones de desigualdad de las restricciones.) En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado A, cuando H = 0, C = 20 y cuando C = 0, H = 30. En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado B, cuando H = 0, C = 12, y cuando C = 0, H = 36. En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado C, C = 10 para todos los valores de H. La ilustración 2A.1 presenta una gráfica con estas líneas.

3. Determine el área de factibilidad. 

La dirección de los signos de desigualdad de cada restricción determina el área donde se encuentra una solución factible. En este caso, todas las desigualdades son de tipo menor o igual que, lo que significa que no sería posible producir una combinación de productos que se ubicara a la derecha de alguna de las líneas de las restricciones de la gráfica. La zona de las soluciones factibles está sombreada en la gráfica y forma un polígono convexo. Un polígono convexo se presenta cuando una línea trazada entre dos puntos cualesquiera del polígono permanece dentro de las fronteras del mismo. Si esta condición de convexidad no existe, entonces el problema está mal planteado o no es apto para la programación lineal.

Solución EJEMPLO 2A.1: Puck and Pawn Company

Plantee el problema en términos matemáticos. Si H es el número de bastones de hockey y C es el número de juegos de ajedrez, para maximizar la utilidad la función objetivo se puede expresar como:
Maximizar Z = $2H + $4C
La maximización estará sujeta a las restricciones siguientes:
4H + 6C ≤ 120 (restricción del centro de maquinado A)
2H + 6C ≤ 72 (restricción del centro de maquinado B)
1C ≤ 10 (restricción del centro de maquinado C)
H, C ≥ 0 •
Este planteamiento cumple con los cinco requisitos de una PL estándar mencionados en la primera
sección de este capítulo:

1. Los recursos son limitados (un número fi nito de horas disponibles en cada centro de maquinado).
2. Hay una función objetivo explícita (se conoce el valor de cada variable y la meta para resolver el
problema).
3. Las ecuaciones son lineales (no hay exponentes ni productos cruzados)
4. Los recursos son homogéneos (todo se ajusta a una unidad de medida: las horas-máquina).
5. Las variables de la decisión son divisibles y no negativas (se puede fabricar una fracción de bastón
de hockey o de juego de ajedrez, pero si se considerara que no es deseable, entonces se tendría que
utilizar la programación entera).