PRACTICA con el Modelo M/M/1. Toma de Decisiones - III

Ejemplo 2. 

Car´s Auto-tienda tiene un empleado que se encarga de instalar sistemas de alarma a carros y lo hace a una tasa promedio de 3 por hora; cerca de 1 cada 20 minutos. Los clientes que solicitan este servicio llegan en promedio de 2 por hora. Los aspectos del sistema M/M/1 se encuentran aquí presentes. ¿Cómo es el comportamiento de este sistema?
RESPUESTA.

La tasa de servicio que satisface esas condiciones debe estar entre 3.19 y 3.33 carros en promedio servidos por hora. Como se establece, estos son valores promedios. El logro de esta tasa dependerá de las medidas administrativas que se apliquen; recuerde que el modelo solo provee números (cantidades). b) ¿Cuál es la variación en el tiempo medio de servicio que debe lograrse para tener un ratio de pérdida de clientes < 1.5? (las llegadas permanecen constantes)

La solución del modelo no considera factores de costo que permitan una decisión óptima. Algunas veces la decisión requiere que la gerencia haga un balance entre el incremento de los costos para mejorar el servicio y la disminución que se obtiene por proveer ese servicio.

PRACTICA con el Modelo M/M/1. Toma de Decisiones - I

Ejemplo 1. 

Suponga que usted es un Corredor de Bolsa de una conocida firma de la ciudad. Como tal, debe procesar transacciones que le llegan a una tasa media de 20 por hora. Cada orden recibida requiere un promedio de tiempo de 2 minutos para procesarla. 

Usted conoce el modelo M/M/1 y ha determinado que las condiciones están dadas para su aplicación. Por lo tanto, utiliza el modelo y procede a calcular los valores resultantes.

Si se observan los resultados, se conocen cosas importantes acerca de la forma en que opera el sistema. Se ve que una orden tarda 4 minutos antes de ser atendida o procesada. Si se quiere servicio rápido, esto sería un indicador que debe considerarse. También se observa que el 66% de las órdenes que llegan tienen que esperar por servicio. 

Así pues, si las características de operación son insatisfactorias, debe diseñar alternativas para mejorar la forma de operación del sistema.

VALORES UTILIZADOS CON EL MODELO M/M/1 PARA TOMAR DECISIONES - III

Valores obtenidos de las Distribuciones Probabilísticas:

VALORES UTILIZADOS CON EL MODELO M/M/1 PARA TOMAR DECISIONES - II

Valores que pueden obtenerse con información adicional.

Mide la relación que hay entre el tiempo que espera la unidad para ser servida y el tiempo en que es servida. Por lo tanto, a medida que esta relación es mayor, la unidad tiende a irse del sistema pues es mucho el tiempo que debe esperar, en comparación al tiempo en que recibe el servicio. Tasa de servicio de costo óptimo:

El costo de esperar se obtiene multiplicando el costo de esperar por el número promedio de unidades que esperan en el sistema. El costo de servir se obtiene Al multiplicar el costo marginal de servir por el número promedio de unidades servidas por unidad de tiempo.

VALORES UTILIZADOS CON EL MODELO M/M/1 PARA TOMAR DECISIONES - I

Probabilidades en Proceso Estacionario o Régimen Permanente:

Debido a que los parámetros l y m aparecen juntos como un ratio, es convencional reemplazarlos por el parámetro simple r ( letra griega rho). Más explícitamente simbolizado como It en nuestra terminología. Representa la Intensidad de Tráfico.

La interpretación de este parámetro puede obtenerse de la solución en situación estacionaria. Siendo P0, la probabilidad de que no existan unidades en el sistema, es decir que el sistema esté desocupado. Entonces la probabilidad de que el sistema esté ocupado será igual a (1- P0 ).

Cada uno de los valores promedio de las Características Operacionales tiene su dispersión. Esta diapersion, es medida con la varianza de cada uno de esos valores. No se colocarán sus fórmulas en este manual.

MODELO M/M/1 según la Notación de Kendall. - II

9. Otros valores que pueden ser utilizados para tomar decisiones en este sistema de espera y que pueden obtenerse con información adicional, cuando se la tiene, son: a) Ratio de Pérdida de Clientes y b) Tasa de Servicio de Costo Optimo. 

10. El Ratio de Pérdida de Clientes resulta de dividir el tiempo promedio esperado en la fila (numerador) y el tiempo promedio en que recibe servicio la unidad (denominador). Mientras mayor sea este valor o relación entre estos dos valores, más fácil será que el cliente abandone el sistema. 

11. La Tasa de Servicio de Costo Optimo se puede obtener al derivar, con relación a la tasa de servicio, la curva de costos totales: Servir, y esperar. Se obtendrá la tasa de servicio donde los costos serán menores. Sólo puede ser usada cuando se disponga de costos de esperar y de servir. 

12. Cada uno de estos valores se calcula con una fórmula obtenida tanto de la solución del modelo, como de las distribuciones probabilísticas. La terminología usada es convencional y se presentan en hoja anexa. 

13. El gerente en un sistema de espera generalmente tiene a su mando la unidad de servicios, por lo que su acción principal será sobre este elemento componente del sistema. Por otro lado, las llegadas en este modelo no son controladas de ninguna forma. 

14. La toma de acciones o decisiones en este específico sistema puede hacerse entonces de dos maneras: a) Por nivel de aspiración y b) Por valores óptimos. 

15. Decidir por nivel de aspiración significa aplicar una tasa de servicio ( o tiempo de servicio) que se obtiene al satisfacer una o más características operacionales deseadas (de acuerdo a lo que aspire el que toma la decisión). 

16. El Análisis de Sensibilidad de la solución con cambios en la tasa de servicio, permaneciendo constantes las llegadas, facilita la decisión. 

17. Decidir por valores óptimos significa aplicar una tasa de servicio de costo óptimo, porque se tiene información acerca de los costos de servir y de esperar en ese sistema. 

18. Debe recordarse que los valores a utilizar para tomar decisiones son solo números. Una vez calculado el valor de la tasa de servicio a aplicar, el tomador de decisiones deberá determinar cómo lograr realmente que esa tasa se cumpla, para lo que deberá tomar las medidas administrativas necesarias. Es decir, debe implementar la decisión.

MODELO M/M/1 según la Notación de Kendall. - I

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría 

1. Este modelo se deriva en sistemas de espera descritos con los siguientes aspectos: 

a) Proceso de llegada: Fuente infinita, llegadas simples, no controladas, que ocurren independientemente, de acuerdo a la distribución Poisson, 

b) Configuración de la fila: Fila única sin restricción en el número de unidades, 

c) Disciplina en la fila: Unidades pacientes. 

d) Disciplina en el servicio: Primero que llega, primero que sale. 

e) Servicio: Un solo servidor, y los tiempos en que se presta el servicio se distribuyen exponencialmente. 

2. La derivación del modelo está bien documentada en la bibliografía de la asignatura. A continuación se presentan las ecuaciones componentes del modelo que describe este sistema:

5. Muchas decisiones en sistemas de espera involucran comparación de conductas en el largo plazo. En esos casos los resultados en régimen estacionario son suficientes. Si se sabe que no es estacionario, una forma de eliminar esa dificultad, es aislar los periodos de tiempo donde el proceso es relativamente estacionario, restringiendo el modelo y sus conclusiones a esos períodos.

6. El intervalo de tiempo en que l y m pueden ser consideradas constantes debe ser sensiblemente mayor que el necesario para lograr la estabilización. Es conveniente tomar como intervalo de medida una duración superior a 3 ó 4 veces la duración de la estabilización. 

7. En régimen permanente o estacionario, la solución del modelo proporciona: Las Probabilidades en Proceso Estacionario y las Características Operacionales que informan cómo esta operando el sistema. Así pues proporciona: a) Po: que es la probabilidad de que exista cero unidades en el sistema, b) Pn: Probabilidad de que existan n unidades en el sistema, para n>0, c) Tiempopromedio esperado en la fila, d) Tiempo promedio esperado en el sistema, e) Número promedio de unidades en el sistema, f) Número promedio de unidades en la fila. Como todo valor promedio, tiene sus varianzas respectivas.

8. Otros valores, derivados de las distribuciones Poisson y Exponencial, también pueden ser usados para ayudar en la toma de decisiones. Estos son: a) Probabilidad de que la unidad espere más de t unidades de tiempo en el sistema y b) Probabilidad de que la unidad espere más de t unidades de tiempo en la fila.